高中数学很好
高等数学却明确 不了
有几多人高中的时间 ，不用怎么学，数学成就都很好，然而，到了大学之后，遇到高数之后，却感受脑壳 瓦特了。。。
今天，超模君就来看看知乎用户@王冲的分享，跟各人来探讨一下怎么学习高数。
先不谈要领。各人总是在谈要领，我自己也总是喜欢谈要领。可是 着实 最残酷的回覆就是：功夫没下够。
大学数学比中学数学难，以是 需要更多时间。若是 生涯 中没有什么驱动，很容易就功夫没下够，从而感应难以明确 。
可是 那些有足够需求驱动的朋侪 ，很自然的一直 的下功夫，一直 的学、一直 的想、一直 的用，直到像呼吸一样简朴，一定 就会以为 看法很自然了。
“得一善，则拳拳谨记 而弗失之矣。”
要领总是能一直 刷新 ，可是 手头有什么条件就用什么条件，不能说要领不完善 就不往前走了，这才是正直 武学的练法。一定要受苦 的。
然后说要领。所谓学习的要领，就是几个选择的权衡：
1. 到底学到什么水平算学会了。
前几天在知乎看到一个谜底 ，说学数学有两个误区。一个是已经学会了，然后不继续往后学，总在现在的头脑 上，拼命翻新技巧。另一个是学得不扎实，意味着想要往后学。前者常见于中学教育，后者常见于大学之上的教育。
2. 明确 照旧背诵。
定理到底要一起 追根究底到可以称为正义的工具，照旧记着就好。若是 我厌恶 死记硬背，到底要不要影象呢？
3. 看书主要 照旧做题主要 。
那么到底怎么选呢？一个基本原则是走极端一定是错的。像我第一次的回覆，就过于强调治解和看书，忽略了做题和背诵，说的不客套 就是哗众取宠。以是 我越想越不惬意 。厥后补上的谜底 ，强调另一端，看似平衡了。但没有把背后的原理说透。
什么是背后的原理？只有两条。1、别走极端。2、小马过河，实事求是。一直 的做，从现实中获得反馈，再改。
若是 目的 是通过考试，那么，学到能通过就算学会了。若是 不会做题，自己想想是忘了基本的定理，照旧不会无邪 运用。若是 是忘了基础，凭证 自己的性格，想明确 就明确 ，想硬记就硬记。明确 不管用就硬记，硬记不管用就明确 。若是 是不会无邪 运用，那就说明问题 做的少或者做了题没有总结。
云云 而已。团结 自己的性格、优势和最终的目的 ，怎么能哄着自己把功夫下够了，才是正理。
我下面写的所有工具，都是说，在学习的历程中，除了捉住 细节之外，要多想多看，建设大图景，把要学的工具和自己的知识系统 挂中计 。这样才气知道为什么要学，学习的历程也会有趣一点。
可是 请不要以为 能看到大图景，就可以不用在乎细节了。不要以为 会吹牛，就不用做题了。这是由于 我们的目的 是学以致用，不是吹牛。同时，真正做够了题，你才气确保你看到的大图景是对的，而不是脑补。我说重一点，不做题，那就是民科！
什么叫做掌握？对于大学生来说，学习一门课，若是 不能严酷 遵照 公式和定理，写满一张A4纸的推导历程，就不算掌握。
怎么做到这种水平？认真的做题、认真的抠细节，须要的时间 死记硬背，投入大量时间。这些该做的苦工，一样都少不了。
----------原回覆脱离 线----------
我不是数学专业的，只是一个像matrix67那样的数学喜欢 者。意见仅供参考。
明确 的意义
许多同砚 谈到不用明确 ，我这里想先容 一种相反的要领，打桩法（彻底明确 法）。
我的影象力很差，记不住任何不能明确 的工具。以是 ，我一直坚持彻底明确 。效果 或许是：大学内里 的一门数学课，在我脑子里差不多就是半页纸的看法。没有刻意去背，可是 怎么也忘不掉。带着这半页纸，基本上可以把书重新写出来。同时，对于这些看法，我不是记着，而是有情绪 。
真的有情绪 ，由于 数学从来不无聊。以线性代数为例。我看到了一个蔚为壮观的模式。
首先，从物理的角度，这个天下 上充满了线性变换、线性关系。微分是线性变换，这就是为什么线性代数可以用来解微分方程组。几何操作经常是线性变换，这就是为什么3d图形学经常用线性代数。物理中经常有线性关系，如牛顿定理、胡克定理、电阻上电压与电流的关系。
为什么随处都是线性关系？由于 物理中大量的看法都是可以叠加的，如电流、电压、重量、压力，两股电流输入，一股电流输出，则输出为输入之和。而为什么物理看法可以叠加？其本质是守恒性。
为什么经常有比例关系？这个我没有好的谜底 ，我只是虔敬 的信仰这个天下 是简朴的，由于 简朴，以是 美。
其次，从使用的角度，只要你发现笔下的公式中包罗了向量的线性组合、线性方程组、坐标变换、线性变换，不管它们是怎么来的，有没有物理意义你都可以迅速链接到线性代数这个强盛 的工具箱，大量使用矩阵、行列式、秩、特征向量等看法。
最后，你使用线性代数的理论刷刷刷的往后推，获得一个效果 。然后你往往可以享受最美妙的部门：明确 效果 的几何意义。这是由于 线性代数链接上了几何。
什么是明确
所谓明确 一个看法，就是把这个看法和已有看法建设联系。你对已有看法越熟悉，这个联系越强，你就会以为 自己越明确 。
楼主谈到中学的每个看法在脑子里都能画出来。这是一种最直观的明确 ，即把看法和生涯 体验建设关系。能在中学时代做到这点的同砚 ，基本上都是勤学生了。
高等数学的贫困 在于：已有看法不是生涯 体验，而是另外一些数学看法。看法间的联系不是视觉联系，而是逻辑联系。以是 ，若是 不能准确 明确 基础数学看法，后续看法也就没法明确 了。同时，若是 不牢牢地掌握住逻辑，妄想 用直观来掌握，就会以为 ，书上说什么就是什么，我就记着把。横竖我不明确 。
（我不是说直觉不主要 ，你可以从直觉出发，把这个直觉落实到严酷 证实 ，或者先看懂了严酷 证实 ，再反向去感受直觉是什么。随着数学学习的深入，更多的直觉是来自于这后一条路。无论怎样 ，若是 忽略证实 ，只体贴直觉，脑子就会乱成一锅粥）。
我们现在以欧拉公式为例。
首先，我们通过对实数域函数的剖析 ，获得了e^x, cos(x), sin(x)的泰勒级数形式。
然后，我们通过对复数域的剖析 ，得出了i^2 = -1。
然后，我们假设泰勒级数公式在复数域也建设。
e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)
由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....
以是 e^(iy) = (cosy+isiny)
这个证实 是不严酷 的，真正严酷 的证实 要领需要重新界说复数域上的cosz和sinz函数。可是 这个证实 充实说明晰 什么叫数学意义上的明确 ，那就是一点直觉+一点证实 。
在复数域上最初我们只界说了加法和乘法。我们从直觉上甚至没法想象e^(iy)是什么，可是 ，既然各人都是数，我们直觉上以为 （或者从美学的角度以为 ），若是 实数域上的泰勒公式在复数域上也建设，那是很漂亮的。基于这个直觉，加上一点点证实 ，我们就知道怎么界说e^(iy)了。
数学家们也是这样界说出高维空间中的超平面的，他们以为 超平面这样界说是美的，且与现有的平面性子 吻合。不使用逻辑推导，我们基础看不到超平面。
打桩法
在先容 欧拉公式的证实 的时间 ，我们着实 已经初窥打桩法的门径了。也就是，想要明确 未知看法（欧拉公式），首先找到自己认同的已知看法（实数域中的泰勒级数），然后建设两者间的联系。
现在我系统的先容 一下怎么用打桩法来学习。
一本书来了，找到你最有感受的看法，学习之，即打下一棵桩。纷歧定非要按顺序念书。接纳几个行动：看目录，找有感受的桩。或者随机的掀开一页，读完，然后问自己这一大段到底想讲什么。既然作者不是笨蛋，他一定想讲些工具。打下几根桩后，你还可以问自己，我现在读的工具和现有的几根桩有什么关系？
打桩没有任何约束。一本书上看什么都行，有图画就看看图画，有问题 就看看问题 。这都行。但凡能资助你打桩发生情绪 的内容都可以读。
可是 桩打到一定水平，脑子里攒了一堆七零八落 的直觉后，基本上整本书随处都是桩，随处都是你的卧底。这时间 你就可以追逐严密性了。看清晰 看法。然后看定理，着实 看法的桩打牢了，大部门定理都能够自己证实 出来。逐步 的就把这本书给啃了。
为什么非要自己搞懂定理的证实 ？由于 有的时间 你以为你看懂了定理，可是 你基础没看懂。逼着自己证实 ，你才会知道这个定理到底在讲什么。
尚有 一个缘故原由 是：定理讲的是看法之间的联系，可以帮你温习看法的界说。同时若是 你看不懂一个定理的证实 ，很可能是你对看法的内在 没有理清晰 。许多时间 看法的界说就那么几个字，但真是意味深远，一字不行更易。定理得证实 不用背，你真的看懂了，就会发现好几个定理的证实 着实 是统一 个技巧，而你自己会不知不觉地把技巧上升为一个看法。你基础就忘不掉这个看法。若是 一个技巧只在一处用到，那说明它基础就不主要 ，爽性遗忘 好了。
一定要重复理清看法、定理之间的联系。念书的时间 ，许多看法、定理第一眼看已往以为 这不是显而易见的吗，然后就跳已往了。下一次又看到的时间 ，由于 对于整本书的明确 加深了，再看一遍，真有“于无声处听惊雷”的感受，往往不起眼的一句话，串起好几个零星 的看法。
虽然，有些内容若是 一直到最后都孤零零的，和此外看法没什么关系，那很可能是这本书的重点不在这里，以是 在这边的讨论很单薄。爽性放弃也没关系。
以我自己学习线性代数的历程为例，诠释 一下打桩法的心理转变 ：
一、第一遍学的时间 ，我问自己“线性代数到底在鬼扯什么”？我回覆不了。可是 听说线性代数息争析几何有关系。我就去学了一本剖析 几何。有一半内容是中学已经学过的，以是 还学得下去。学完了之后，发现书上好几处用到行列式，我就把行列式学了。
二、剖析 几何讲坐标变换的时间 ，会讲过渡矩阵和矩阵乘法，以是 我把线性代数的这两部门也学了。顺便明确 了方阵可逆等价于对应的行列式不即是0。由于 基于“行列式”和“矩阵”这两个看法，我能够明确 “可逆”这个看法。矩阵的初等变换、秩什么的我不明确 ，以是 算了。
三、研究线性方程组。高斯消元法和中学学过的解方程很想，以是 学了。然后我突然意识到高斯消元法就是矩阵的初等变换，也照旧行列式的初等变换，以是 基于“高斯消元法”和“行列式的初等变换”这两个我有情绪 的看法，把矩阵初等变换给学了。
四、高斯消元法得出系数矩阵A的秩即是n的时间 ，线性方程组只有非零解。我对于线性方程组的求解照旧有兴趣的，由于 经常用到。既然有这么个定理，铤而走险，把秩给学了吧。真学起来，才发现秩的性子 是基于行列式这个我有情绪 的看法界说的，我自己以为 秩着实 就是行列式=0这个看法的一个推广。以是 学起来轻松愉快。
五、接下来是用向量空间的看法界说线性方程组的解结构。这个我以前以为 是吃饱了撑的，既然已经有了高斯消元法，问题都解决了，你还添枝加叶 干什么。可是我学了剖析 几何啊，我现在知道向量空间就是空间、平面、支线这些看法了。以是 我就以为 向量空间这个看法很酷阿。
六、说句老真话 ，我以为 向量空间和向量组没有什么区别阿，光看界说基础不以为 关闭性是个何等了不起的看法。可是读完了线性方程组的解结构才知道，若是 线性方程组的解结构不是一个向量空间，而是一个随处漏风的向量组，那么解结构就不能表告竣向量的线性组合，一点都不漂亮。这就是为什么读定理真的可以加深对看法的明确 ，看法内里 就是“关闭性”这三个字，到定理内里 用起来才知道它着实 是屠龙刀。
七、我原来一直以为 “线性空间”和“向量空间”这两项内容简直是同义重复。我就问自己，为什么作者非要写两遍。厥后团结 剖析 几何，才意识到几何空间就是一个线性空间，几何空间坐标化了之后才是向量空间。而且学完线性代数后，重新去看剖析 几何的定理，简直面目一新 。昔时 辛辛勤 苦证实 的定理，现在就是一句话“我们一样平常 明确 的几何空间就是一个三维线性空间。”感受爽透了。
八、在学线性空间之前，我一直喜欢做标量运算，喜欢把矩阵拆成元向来 玩。由于 我对于矩阵的明确 照旧停留在线性方程组内里 的一个个系数。可是 线性运算即是矩阵这个定理一出来，我彻底的被震撼了。矩阵不是一个一个的元素，它就是它自己：线性运算。矩阵的意义，就是我们有了超能力，已往我们只能看一个个标量，现在我们可以把这一堆标量组成的矩阵看成一个整体，作为一个自力 的单元来操作。然后就有了矩阵的相似对角化、正交对角化、SVD剖析之类的工具。好吧，这几个工具就是我书上的最后两章，我一口吻 读完了。
上面说的是一个极简版的历程，真实的心理历程，是几百个“为什么”、“胡扯”、“跳已往”、“这几个工具有什么关系”这样的问题串起来的，可是这样读完这本书后，所有的看法都活了，我看天下 的眼光彻底变了。
打桩法的其他用途
着实 打桩法不只可以用于数学，也可以用于任何书籍，包罗文科类书籍和小说。读文科的书籍，经常读完了，只有一些印象深刻的地方留了下来。什么地方深刻？耸人听闻的地方深刻，切合自己原有看法的地方深刻。这样读还不如不读。由于 你只是一直 的在强化自己，或者记着一些耸人听闻（往往差池）的八卦。你的头脑 高度照旧停留在原地。
若是 用打桩法追求彻底明确 ，读完之后，你就会知道：这本书的脉络是什么。可以怎么应用于生涯 中。哪些地方与我的生涯 体验一致，哪些地方相违反 。那里 有逻辑，那里 没有逻辑。
读完一本书，你的头脑 就直接被提升到靠近 作者的高度，这才是念书。
此外，打桩法着实 也是一个解题要领。我们解数学题的时间 ，这里试一下，不行，就换一种要领再试。最后的要领，往往是之前几个不乐成的要领（桩）的组合。人生也是云云 。明确 人生没有捷径。做自己热爱的事情，认真地去做，有一天，你会发现Dots will be connected。那时间 你才名顿开：哦，原来这就是我的人生。我的人生不是第一个点，也不是第二个点，而是所有这些毗连 起来的点。
拓展阅读
学习数学，着实 走到看法这一层并没有到头。你还可以问，为什么看法需要这样界说？着实 是为了切合人的直觉和有用。数学家想着，我需要界说一个看法，这个看法需要具有什么样的性子 （不需要证实 ，就像物理学家以为 这个天下 应该是守恒的一样），由于 只有这些性子 会让我开心而且有用。
你也可以实验着自己界说看法，不外一定要有用、直观、优美，与现有理论能够有一定联系哦。
此外，有的时间 ，经由 一连串逻辑推理获得的结论，暂时没有直观的明确 。就似乎通过逻辑我们可以界说出高维空间中的平面、球，可是 我们看不见。你是否敢信托 逻辑的实力 ？
界说看法与信托 逻辑的实力 ，这两者在牛津通识读本的《数学》一书中讲的很是透彻，各人可以读读。看完这本书后，你就会意识到，当读完一本书后，你心中也就没有这本书了。由于 这本书所讲的所有 内容，都可以基于你自己的生涯 体验和逻辑完全推出来。
数学从来都是一种壮观的模式，像崇山峻岭一样巍峨，像大海一样辽阔，可是只有明确 它的人才气望见 。浏览 美的最好要领是实着实 在的去读数学书，可是 为了给你鼓点劲，可以读读《数学的语言：化无形为可见》。
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