在上一篇文章，我们已经讨论了黎曼zeta函数的一些零点，每个负偶数都是zeta函数的零点：ζ(−2)= 0，ζ(−4)= 0，ζ(−6)= 0，以此类推。这给我们提供了一种明确 黎曼意料 的要领，再次回首下黎曼意料 的内容：
黎曼zeta函数的非通俗 零点的实部都是1/2。
但负偶数只是zeta函数的通俗 零点，我们不禁要问，那些“非通俗 零点”在那里 ？为了回覆这个问题，我们必须走进复数天下 。
数字系统，维基百科一个复数就是复平面上的一个点，为了说明复平面，我对复数做一点剖析 ，首先思量 我们之前讨论过的无限 级数：
x在-1到1之间这适用于复数吗？是的（在某些条件下）。例如，假设x是（1/2）i，那么级数收敛。事实上：
左边即是0.8+0.4i，右边可以使用 i^2=-1来化简，获得：
把右边表达式画在复平面上：
从实轴上的1最先 ，加上1/2个虚单元（向上移动0.5），再减去1/4（向左移动1/4）……最后获得一个螺旋图，落在复数点0.8+0.4i处。
回到非通俗 零点，我要告诉你的是，黎曼zeta函数的非通俗 零点都是复数！在1900年，关于非通俗 零的位置，在数学上已经确定了如下事情：
它们有无限 多个，实部在0到1之间。阴影部门被称为临界带，黎曼给出了更强的假设，就是黎曼意料 ——非通俗 零点实部都落在1/2上（临界线上）。
零以共轭对的形式泛起。也就是说，若是 a + bi是一个零点，那么a - bi也是一个零点。零点的实部关于临界线对称。把黎曼zeta函数界说域推广到复数规模我们知道，复数是通俗 实数的一个很是简朴的扩展，遵照 所有的算术规则，只是增添 了i^2=-1。自然而然地，我们可以用复数替换 实数，把函数的界说域扩展到整个复数规模。如平方函数很容易扩展：
指数函数不那么容易。
指数函数的扩展需要运用欧拉恒等式：
详细 怎样 界说e的复数次幂呢？下面等式显示了e^z的现实 界说（对于恣意 数z，实数或复数）：
若是 z=πi，那么z^2=-π^2，z^3=-π^3i，z^4=π^4，z^5=π^5i，等等。把这些带入上式获得：
右边收敛到-1。同样，对数函数也可以扩展到复数。它只是指数函数的逆函数。
那么，我们可以扩展黎曼zeta函数的界说域到复数规模吗？
虽然可以。我告诉你，对于复数，你可以做任何事情。
由于zeta函数公式仍然是一个无限级数求和，因此仍然存在收敛性问题。对于任何实部大于1的复数，和是收敛的，数学上称为：
在半平面上Re(s) 1
其中Re（s）体现s的实部。
然而，就像对于实变量的zeta函数一样，数学技巧可以将zeta函数的界说域扩展到不收敛的区域。应用这些技巧之后，就获得了完整的zeta函数，它的界说域是所有的复数，只有一个破例 ，在s = 1处。
若是 有一些视觉辅助工具，复函数会更容易掌握。那么，怎样 将复函数可视化呢？我们来看看最简朴的非通俗 复函数，平方函数。怎样 画出它的函数图？若是 自变量是实数，那么函数图很容易画出来：
但这不能用于复函数，复函数变量需要用二维平面来体现。函数值需要另一个二维平面。为了获得一个图，需要四维空间来画它。这显然是不现实的。
但我们可以换个方式。记着函数的基本看法，它将一个数字（参数）转换为另一个数字（函数值）。复数是复平面上的一点，函数值是另一个点。一个复函数把界说域内的所有点都“映射”到其他点上。你可以选择一些点，然后看看它们的走向。
例如，复平面上一些组成正方形边的数字a、b、c、d，它们的值划分是−0.2 + 1.2i， 0.8 + 1.2i，0.8 + 2.2i，和 −0.2 + 2.2i。把这些数代数平方函数会怎样？
−0.2 + 1.2i的平方是−1.4 − 0.48i，也就是a的函数值；将b、c和d平方可以获得其他角的值——我已经将它们标志为A、B、C和D。若是 你对沿正方形边缘的所有点重复这个步骤，以及组成网格内部的所有点，你就会获得如上图所示的扭曲的正方形。
把复平面想象成一块可以无限拉伸的橡胶片，然后问函数是怎样 作用这个橡胶片的，这对明确 复函数很有资助。从上图可以看出，平方函数将橡胶片围绕（0,0）点逆时针旋转并拉伸了。
黎曼有很是强盛 的视觉想象力，构想出了这个“工具”，取整个复平面。沿负实轴切割，到原点为止。
黎曼看来有着很是强的直观想象力，他做出了下面的构想。取整个复平面。沿负实（西）轴切割，到原点为止。现在捉住 切口的上半部，以原点为中央 ，把它按逆时针偏向拉。拉着它恰恰 转过 360 度。此时它在被拉伸了的橡胶片的上方，而切口的另一侧在这张膜的下面。让它穿过橡胶片（你必须想象，复平面不仅可以无限延伸，而且是用一种能穿过其自身的神秘物质制造的），而且把切口重新弥合。你脑海中的图景现在看起来有点像：
这就是平方函数作用于复平面的效果 。
这不是一个梦想 的或无关紧要的操作。由此出发，黎曼生长出了一个完整的理论，称为黎曼曲面理论。它包罗了一些强有力的结论，而且让人们深刻地相识 了复变函数的特征 。它还把函数论与代数学和拓扑学联系起来，这是 20世纪数学的两个要害性生长领域。事实上，它是黎曼斗胆无畏而一直 创新的想象力的一个典型产物—历史上最伟大的头脑之一的一个效果 。
明确 复变函数自变量蚂蚁现在，把复变函数的自变量看作一只“无限 小”的蚂蚁。如上图所示，这只小蚂蚁用它前面的一只“手”抓着一个“小仪器”，这个小仪器有三个显示屏：
因此，这只小蚂蚁始终准确 地知道它在那里 ，同时对于任何给定的函数，它知道它所站的谁人 点会被函数映射到那里 。
现在我们让这个小仪器显示zeta函数，让这只自变量蚂蚁在复平面上自由闲步 。当“函数值”显示零的时间 ，它就正好站在zeta函数的一个零点（“自变量”）上。这只小蚂蚁可以在它所到之处做上记号。于是我们就能知道zeta函数的那些零点在那里 了。
现实 上，我将要让这只自变量蚂蚁所做的事情，比上面所说的略多一点。我要让它给所有那些得出纯实数或纯虚数函数值的自变量作上记号。一个自变量，若是 它的函数值是2或-2或2i或-2i，就要做上记号；若是 它的函数值是3-7i，就不做记号。换一种方式说，被ζ 函数映射到实轴或虚轴的所有那些点都要做上记号。虽然，由于 实轴和虚轴在原点相交，得出这两条轴交点的自变量，就将是函数的零点。用这个要领，我可以获得ζ函数的某种图像。
自变量平面，显示了被zeta函数“映射”到实轴和虚轴上的点。上图显示了这只小蚂蚁探索旅行的效果 。其中的直线显示了实轴、虚轴及临界带。而所有的曲线都是由那些能被映射到实轴或虚轴上的点组成的。
试图想象出zea函数对复平面的作用效果 是一项很是艰辛的智力训练 。上面剖析 了，平方函数将这张平面在它自身上方拉伸了一圈，形成了双层膜曲面，而zeta 函数则无限 多次地做了同样的事情，发生了一个有无限 多层膜的曲面。若是 你发现这很难被形象化，不要以为 很沮丧。你需要经由 几年的恒久实践才气获得对这些函数的一个直观感受。就像我说过的，我这里要用一种较量 简朴的要领。
现在我要让它沿着一些那样的曲线闲步 。假设它从所站的点-2处最先 起步。由于 这是zeta函数的一个零点（通俗 零点），函数值"显示屏的读数是0。现在他沿着实轴最先 向西走。函数值从零最先 缓慢爬升。
它向西刚走过点- 2.717262829 时，函数值到达数0.009159890。然后它最先 向着零跌落。函数值将一直下降，在自变量为-4时到达零。
另一种体现一个函数的方式是接纳函数值平面的"泉源 "图。前面讨论的是被映射到令人关注的值（在那些例子中是纯实数和纯虚数）的自变量，与此差异的是，我可以给出一张函数值平面的图，显示泉源 于令人关注的自变量的那些函数值点。
让我们想象谁人 自变量蚂蚁有一个生涯 在函数值平面上的孪生兄弟。这个兄弟虽然就是函数值蚂蚁。让我们进一步假设，这两兄弟保持着即时的无线电联系；而且它们用这个要领使它们的运动保持同步，以保证在任何瞬间，无论自变量蚂蚁正站在哪个自变量上，函数值蚂蚁就正站在函数值平面内的对应值上。例如，若是 自变量蚂蚁正拿着它那设定在zeta函数上的小仪器在1/2+14.134725i上，那么函数值蚂蚁就站在它的平面即函数值平面的0上。
现在假设，自变量蚂蚁不再沿着自变量平面上那些奇异 的环线和螺旋线走（它们使得函数值蚂蚁只能乏味地在实轴和虚轴上往返 行走），而是从自变量1/2出发，沿着临界线向正北方笔直走上去。那么函数值蚂蚁将沿着什么蹊径 前进呢？
函数值平面，一张很是经典的图，显示来自临界线上的那些点的函数值。它的起点 是zeta（1/2），值是-1.4603545088095……。然后它在原点下方按逆时针偏向走出一条类似半圆的弧线，接着在1周围 拐弯并按顺时针偏向转圈。它向原点走去并经由 了它（那是第一个零点——自变量蚂蚁正好经由 1/2+14.14.134725i）。然后它继续按顺时针偏向转圈，并不时经由 原点——每当它那位在自变量平面上的孪生兄弟踏上了zeta函数的一个零点。当自变量蚂蚁到达1/2+35i时，我阻止 了函数值蚂蚁的闲步 。到这时为止，这条曲线五次经由 了零点，对应于图上的五个非通俗 零点。注重 ，临界线上的那些点有一种强烈的倾向，它们要映射到带有正实部的点上去。
再说一遍，函数值平面不像自变量平面那样是“映射”图；它是"泉源 "图，显示了zeta函数作用于临界线的效果 。函数值平面图中的这条一直 转着圈子的曲线就是zeta（临界线），即泉源 于临界线上点的所有函数值点的荟萃。
一样平常 而言，自变量平面的"映射"图对于明确 一个函数的普遍 性子 （即它的零点在那里 ）来说是更好的工具。而函数值平面的"泉源 "图对于研究这个函数的特定方面或巧妙 特征 来说会更有用。"
黎曼意料 宣称，zeta函数的所有非通俗 零点都位于临界线上——实部是1/2的复数所组成的直线。现在 知道的所有非通俗 零点确实都位于那条直线上。虽然，那并不能证实 什么。zeta函数有无限 多个非通俗 零点，没有一张图可以把它们全都体现出来。我们怎样才气知道第一万亿个，或者第一亿亿亿个，或者第一亿亿亿亿亿亿亿亿亿个是位于临界线上的呢？我们不知道，通过绘图无论怎样 也无法知道。它与素数到底又有什么关系呢……
用最简朴的方式诠释 黎曼意料 （一），明确 素数定理
用最简朴的方式诠释 黎曼意料 （二），黎曼ζ函数，素数的金钥匙
用最简朴的方式诠释 黎曼意料 （三），黎曼ζ函数的剖析 延拓与零点