摘要：矩阵剖析要领有多种，本文首先对矩阵的剖析要领做了简朴的先容 ，这些剖析在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分主要 的角色以及在其它领域方面也起着必不行少的作用。人脸识别是指接纳机械对人脸图像举行 剖析 ,进而提取有用 的识别信息从而到达身份识别 的目的 。近年来因其在清静 、认证 、人机交互 、视频电话等方面的普遍 应用远景 而越来越成为盘算机模式识别领域的热门 。本文在剖析 矩阵剖析的原理后详细针对其在人脸识别中的应用做了一些起源 熟悉 的总结。
矩阵是数学中最主要 的基本看法之一，是代数学的一个主要研究工具，也是数学研究及应用的一个主要 工具。在近代数学、工程手艺 、信息处置赏罚 、经济理论治理科学中，也大量涉及到矩阵理论的知识，矩阵剖析是指凭证 一定的原理用某种算法将一个矩阵剖析成若干个矩阵的乘积或者一些矩阵之和。这些剖析式的特殊形式，一是能显着 地反映出原矩阵的某些特征；二是剖析的要领与历程提供了某些有用 的数值盘算要领和理论剖析 依据。人脸识别是指接纳机械对人脸图像举行 剖析 ,进而提取有用 的识别信息从而到达身份识别 的目的 。虽然人类能轻松地识别出人脸,但人脸的自念头 械识别却是一个难度极大的课题,它涉及到图像处置赏罚 、模式识别、盘算机视觉和神经网络等学科,也和对人脑的熟悉 水平细密 相关。现在矩阵剖析在人脸识别中应用很普遍 ，有差异的算法来实现，本文将对现有的算法做总结和较量 。
1 矩阵的剖析要领
矩阵剖析 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角剖析、满秩剖析、QR剖析、Jordan剖析和SVD（奇异值）剖析等，常见的有三种：1)三角剖析法 (Triangular Factorization)，2)QR 剖析法 (QR Factorization)，3)奇异值剖析法 (Singular Value Decomposition)。
1.1 矩阵的三角（LU）剖析
LU剖析，设A=()是n阶可逆矩阵，若是 A的对角线下（上）方的元素全为零，即对ij，=0（对ij,=0）,则称矩阵A为上（下）三角矩阵，上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵。
= 若是 有下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得A=LU，则称A能做三角剖析，而且称A=LU为A的三角剖析或LU剖析。
1.2 矩阵的QR剖析
矩阵的QR剖析（正交三角剖析）在解决最小二乘问题、特征值盘算、广义逆矩阵的盘算方面，都是十分主要 的。以下为矩阵的QR剖析：设A是n阶可逆实矩阵，则A可惟一剖析为
A=QR
其中，Q为正交矩阵，R是主对角元素都是正数的上三角矩阵。
1.3 矩阵的满秩剖析
矩阵的满秩剖析是将非零矩阵剖析为列满秩和行满秩矩阵的乘积。设A
(r0)若是 存在矩阵F
和G
，使得： A=FG
则称其为矩阵A的满秩剖析。
1.4 矩阵的奇异值剖析
奇异值剖析在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵剖析只管 有其相关性，但照旧有显着 的差异。对称阵特征向量剖析的基础是谱剖析 ，而奇异值剖析则是谱剖析 理论在恣意 矩阵上的推广。奇异值剖析(SVD)是另一种正交矩阵剖析法；SVD是最可靠的剖析法，可是 它比QR剖析法要花上近十倍的盘算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵。和QR剖析法相同者，原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD剖析法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。矩阵的奇异值在最优化问题、特针织问题、最小二乘偏向题、广义逆矩阵问题及统计学等方面都有主要 的作用。
设A，
则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得
其中E=diag()
,而为A的正奇异值，称
为A的奇异值剖析。
2 矩阵剖析在人脸识别中的应用
2.1 矩阵剖析应用于人脸识此外生长历史
人脸识此外研究可以追溯到 20 世纪 60 年月 ,近 20 年来获得了迅速生长 ,涌现出了许多新的要领。这些要领的有用 性很洪流平上取决于它们所提取的人脸特征。现在 可使用 人脸特征可分为四类:视觉特征 ,统计特征 ,变换系数特征和代数特征等。其中 ,代数特征被以为 是人脸的本质特征 ,表征了人脸图像的内在特征 。现在 典型的代数特征主要包罗奇异值特征和本征脸( Eigenfaces)特征等。本征脸( Eigenfaces)手艺 较量 成熟 ,但其盘算较为重大 ,因此海内关于代数特征的研究主要集中于奇异值特征上Hong在文献中首先提出了经典的基于奇异值特征的人脸识别要领 ,把人脸图像视为一个矩阵 ,举行 奇异值剖析从而提取其奇异值特征 ,并投影到 Foley2Sammon 最佳判别 平面举行 识别 ,但在实验中误识率为 42. 67 % ,Hong 以为 是小样本对统计要领的影响。随后许多人提出了消除小样本统计要领的影响的要领，可是 这些要领均接纳人脸的奇异值特征取代原始的人脸图像 。
然而最近的研究批注 ,这是远远不够的，厥后的文献中有人发现人脸的奇异值特征只包罗了少数有用信息 ,更多的信息则包罗在由两个正交矩阵组成的特征矩阵中 ,由此提出了在识别时接纳将待识此外人脸向每个已知人脸的特征矩阵投影 ,取投影后获得的系数矢量作为特征同已知人脸的奇异值特征举行 较量 识别。该要领在 ORL 人脸库上获得了 92.50 %的识别率。值得注重 的是 ,投影后获得的系数矩阵一样平常 为非对角矩阵 ,且非对角线上的系数包罗了许多要害的识别信息。
2.2 QR剖析在人脸识别中的应用
针对维数压缩中的判别 信息提取，对一种已有的解决小样本问题的直接线性判别 剖析 要领(direct linear discriminate analysis。DIDA)，使用 矩阵的QR剖析实现数据的预处置赏罚 ，而且在低维的空间内实现了特征提取，实现算法的实时处置赏罚 。最后，在ORI 人脸数据库上的实验效果 验证要领的有用 性。
维数压缩很主要 的一个目的是为了实现样天职类，使用 Fisher判别 准则能在维数压缩历程之中融入样本的判别 信息，可是 小样本问题是在使用 Fisher判别 准则时经常会遇到的问题，直接线性判别 剖析 要领是解决此类问题的一个有用 判别 维数压缩要领。在直接线性判别 剖析 要领中引入矩阵QR剖析的头脑 ，为高维、小样本的有用 判别 信息提取提供了理论框架。QR剖析的引入，使得无需处置赏罚 一个高维的原始样本矩阵。通太过析矩阵的QR剖析历程，可以在一个相对低维的空间中实现目的 函数的优化．在第一步实现矩阵的目的 函数优化之后，可以在一个较小的空间中实现特征提取历程．此时在新的空间之中，最佳判别 矢量的盘算只需在一个最大为C l(C为样本种别 数)维空间中盘算，有用 降低了盘算重大 度和对硬件存储性能的要求。
2.3 奇异值剖析在人脸识别中的应用
所有人脸识别要领的有用 性都依赖于两方面：特征提取和特征匹配．特征提取，即寻找有用 的特征，是解决识别问题的要害所在．用于识此外图像特征有多种，包罗视觉特征、统计特征、变换系数特征以及代数特征等．其中，代数特征是由图像自己的灰度漫衍所确定的，它形貌 了图像的内在信息，而这种内在信息对增强图像的识别能力是很是主要 的．奇异值就是一种很有用 的代数特征，以是 奇异值剖析在数据压缩、信号处置赏罚 和模式剖析 等许多方面都获得普遍 应用．在某种水平上，奇异值特征同时拥有代数与几何两方面的稳固 性。
由于矩阵的奇异值剖析可以看作，把一个秩为k的矩阵剖析成一组秩为1的矩阵的加权和，则这样一幅图像就可以体现成如下形式：
其中是奇异值，uiviT是SVD的正交基(这里也可以称为图像A的基图像)。
只管 对于任何给定的实矩阵A，在 ，ge; ge;⋯ge; 女的限制下，它的奇异值剖析式A UΣvr和 是唯一的，但相同的奇异值矩阵却可以对应差异的人，也就是说奇异值矩阵与人脸图像并不是逐一 对应的。
对于人脸的识别，仅仅使用 奇异值是远远不够的，还要充实使用 携带主要 信息的正交矩阵。凭证 SVD定理，这些正交矩阵的列，正好是奇异值对应于AAT和ATA的特征向量。由于每一幅图像都有可能受到光照、姿势、心情等噪声的影响，以是 对识别会造成很大滋扰。而原始数据矩阵的所有奇异值和特征向量中包罗了该数据矩阵的所有 信息(也包罗了许多滋扰信息)，同时对于那些有用的信息，每个奇异值和特征向量所包罗的能量也是差异的，较大的奇异值及其对应的特征向量包罗了较多的能量．本文通过保留SVD中前面部门较大的奇异值及其对应的特征向量，以剔除掉图像中由于光照、表隋、姿势等噪声影响所对应的高频信息，来重构图像，并以之作为一类人的一个模板图像来举行 识别。也就是说，首先对奇异值从大到小，举行 排列，然
后取前m(mk)个较大的奇异值 及其对应的特征向量ui vi，来重构一幅图像：
重构获得的图像Arsquo; 相当于将原图像A模糊化，从而提取出这一类人有别于其他类人的特征并用于识别。
使用人脸数字图像奇异值剖析中，前面部门较大的奇异值及其对应的特征向量来重构图像，以剔除原图像中由于光照、心情、姿势等噪声影响对应的高频信息，并将重构图像作为模板举行 识别．实验效果 批注 ：一方面，保留奇异值及其对应的特征向量数目越多，对应的识别率越高．随着保留奇异值及其特征向量数目的增添 ，其对识此外孝顺 度逐渐降低．另一方面，训练样本的增添 ，一样平常 可以提高识别率，在训练样本较少时，作用最为显着 ．可是 训练样本过多，有可能会降低识别率。
在使用较少的奇异值和训练样本的情形 下，仍然取得了相当高的识别率，高于PCA要领。因而，不仅降低了事情量，而且提高了识别率，可谓一石二鸟 ．值得提出的是，当仅保留第1个或第2个奇异值及其对应特征向量来举行 识别时，单幅图像的识别率就已经到达6O％以上，这是其他要领所无法相比的。
虽然，对于奇异值、特征向量在识别中划分所起的详细 作用，尚有 待进一步研究。
2.3 非负矩阵剖析及其在人脸识别中的应用
常用的传统矩阵剖析要领有：主因素 剖析 (PCA)、自力 因素 剖析 (ICA)、矢量量化(VQ)、奇异值剖析(SVD)等，其配合点是允许剖析后效果 泛起负值，从盘算角度看这是准确 的，但就应用角度看负值是没有现实 意义的。
NMF最乐成的一类应用就是用于图像处置赏罚 领域．图像自己包罗大量数据，并在盘算机内以矩阵形式存放，而关于图像的识别与处置赏罚 也均以矩阵形式举行 ，这就使得NMF要领能够很好的与图像处置赏罚 相团结 ，现在 它已成为此领域中数据降维和特征提取的一种有用 要领。
Lee和Seung首次提出NMF理论时，便将其用于人脸识别．Gui．D等提出了基于NMF的人脸识别要领，实验证实 ，NMF用于人脸识别方面有利于提高识别率。可是 在处置赏罚 大规模图像信息时，NMF也存在许多问题，如丢失一些结构信息、加大盘算量等，为此许多学者对其举行 了差异方面的刷新 。
高宏娟等将图像矩阵取代传统图像向量体现，提出了一种(2D)lsquo;NMF要领，用来提取二维图像的基本特征，同时还接纳了特征正交化和图像变形等措施改善了算法性能，实验验证此法用于人脸识别时精度和速率 都获得了提高。
宋星光等提出将局部NMF剖析(LNMF)用于提取人脸子空间特征，将人脸图像在特征空间上投影，将获得的投影系数作为人脸识此外特征向量，以举行 人脸识别．该要领在一定水平上提高了识别塞。
杨轩提出了一种基于gamma漫衍的NMF算法(GNMF)，在此算法的基础上构建特征子空间，接纳最小距离分类法对ORL人脸库中的部门图像举行 识别。实验批注 ，以GNMF为基础的人脸识别要领识别率较高。
欧阳怡彪等提出了基于小波和非负希罕 矩阵剖析的人脸识别要领．该要领使用 小波变换(wT)、非负希罕 矩阵剖析(NMFs)和Fisher线性判别法(FLD)来举行 人脸识别．实验批注 ，此法对人脸心情、光照转变 和部门遮挡不敏感，具有很是好的结实性和较高的识别率。
此外，许多外洋学者也致力于将NMF用于人脸识别方面的研究，并取得了显著的效果 。
NMF算法作为一种专门对于非负矩阵处置赏罚 的矩阵剖析要领，可以实现对非负矩阵的线性剖析．同时保持矩阵的非负特征 。其基本头脑 是对非负数据举行 线性非负剖析，由于人脸图像数据的非负性，在人脸识别中接纳非负矩阵剖析成为了一种避开神经网络，避开支持向量的一种新兴的研究要领。现在 NMF算法研究虽取得了一些效果 ，但尚处于起步阶段。一些很是有意义的问题尚有 待被探讨息争决。
3 竣事 语
上述内容主要先容 了几种矩阵的剖析原理及其在人脸识别中的基本应用。枚举 出矩阵剖析的界说、性子 以及定理等。矩阵理论是数学的一个主要 的分枝，而且已成为现代各科技领域处置赏罚 大量有线维空间形式与数目 关系的强有力的工具。特殊 是在盘算机的普遍 应用，为矩阵论的应用开发 了辽阔的远景 。虽然人类能轻松地识别出人脸,但人脸的自念头 械识别却是一个难度极大的课题,它涉及到图像处置赏罚 、模式识别、盘算机视觉和神经网络等学科,也和对人脑的熟悉 水平细密 相关。机械在基于矩阵剖析原理下对人脸图像举行 剖析 ,提取有用 的识别信息从而到达身份识别 的目的。我们知道矩阵剖析在人脸识别中应用普遍 ，本文通过对差异的算法实现人脸识此外要领做了总结和较量 ，使读者可以对其有简朴的相识 。
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