本文问题 所说的大学数学主要是指在18、19世纪和20世纪初生长起来的近代数学。近代数学的生长效果 基本上浓缩在了现在 在大学数学系所开设的十一门基础性的数学课程中，这些课程是：数学剖析 、高等代数（或线性代数）、常微分方程、复变函数论、微分几何、偏微分方程、概率论、实变函数论、抽象代数、拓扑学、泛函剖析 。
所有这些课程的主要经典内容都经由 了近百年来的重复提炼与刷新 ，已经逐渐成型，各门课程所使用的课本 也越写越成熟。不外，有一个恒久以来存在的问题是：大学数学的教学历程基本上还都是凭证 严酷 的学科系统 和逻辑推理来举行 实验 的，对大多数学生来说，许多内容显得较量 抽象和难明 ，特殊 是通例的大学数学的“界说-定理-证实 -推论-例题”五步曲名堂 容易使学生感应疑心 ，不明确 这些重大 的看法和理论的真正寄义是什么，它们到底要解决什么问题？
和此外自然科学与社会科学学科完全差异，大学数学的主要研究工具是抽象的模式和理论，而不是自然界的物质和人类社会中的征象 ，因此让没有几多学习阅历的数学专业的学生来准确 地明确 和掌握近代数学的本质是较量 难题 的。数学家J. L. Casti 曾说：“在数学中，要讲述真理是极其难题 的，数学理论的形式化的陈述并没有讲清所有 的真理。”在已经成熟的数学理论中很少看到理论形成的历程，“我们的数学家习惯于系统地擦去我们走过的足迹。科学家们总是不明确 地看待数学家的这种怪异的习惯，而这种习惯自毕达哥拉斯以来直至今天险些没有改变。”
数学家H. Bass这样剖析 了这其中的缘故原由 ：
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“数学有一个天性的趋向——使用 抽象和一样平常 化——由此而将普遍 领域中的素材加以综合与提炼，形成简朴而又统一的看法与要领，行止 置赏罚 种种各样重大 的情形 。这个历程有时被称为‘压缩’，有意思的是，这种很有用 的知识形成历程却对举行 教学的数学家来说是一个障碍，他在这时必须继续起‘解开压缩’的角色，这样才气让那些自主研究学习能力不强的学生来逐渐明确 数学。”
”
Bass所说的“解开压缩”的教学要领现实 上就是凭证 数学原来的生长顺序，将数学头脑 逐步演进的历史历程与数学严酷 的逻辑推理历程有机地团结 起来，补上在数学的生长历程中被舍弃的中央 历程（即适当地重新呈献早先的数学家曾经“走过的足迹”），使学生能够相识 现代精练抽象的数学理论是怎么来的，从而能够明确 大学数学看法与定理背后的真正内在 。这种被称为“历史途径法” 的教学要领不是简朴地在传统的只讲逻辑推理的课程系统 中堆砌一些数学史料和数学家的生平故事来调治数学的死板 叙述，而是只管 在历史的框架中来教学数学课程的内容，从而更容易捉住 大学数学的本质头脑 和内容。数学教育的研究已经证实：数学历史的生长历程与学习者小我私人 熟悉 明确 数学的心理法式有极显着 的相似之处，因此历史途径法对于大学数学的教学有极大的资助作用。
为大多数学生思量 ，历史途径法一样平常 不是从现代的十分精练的数学界说出发，来睁开 种种定理和公式及其证实 的教学，而是用历史上曾经泛起过的原始数学问题来引入教学的主题，接纳详细 简朴的素材作铺垫，从中逐步指导 出抽象的数学看法与命题，而且运用前人具有启发性的有趣质朴 想法来解决一些相对简朴的问题，这样可以展现 出抽象的数学看法与要领的现实 内在 ，从而使初学者不至于在过多的严酷 重大 的逻辑推理中迷失偏向。由于我们已经相识 了数学厥后的生长历程，以是 可以选取对以后的生长来说是至关主要 的头脑 和要领，也就是用历史生长线索在大量重大 的数学知识系统 中找出基本的看法与要领，而且将详细 的历史演进历程与学科严密的逻辑推理系统 巧妙地团结 起来，由浅入深地合理编排有关教学内容。
从外洋已经出书的许多用历史途径法来写的大学数学课本 与参考科普读物的反映看，历史途径法很是有利于学生学习抽象的大学数学，它可以揭开大学数学的神秘面纱，降低学习的难度，从而使学生发生继续学习和研究现代数学的兴趣（例如可以参阅笔者的微信文章“数学文化在日本”）。
由前苏联一批优异 的数学家在上世纪50年月 编写的《数学：它的内容、要领和意义》（以下简称《数学》）是一部资助数学系的大学生学习数学的综合普及类读物，其三卷的中译本的总篇幅到达了一千多页。它差异于一样平常 的大学数学课本 的地方是：只管 运用历史途径法和通俗浅易 的语言，来深入浅出地诠释 各门大学数学课程中一些最基本看法和理论的寄义，而不是面面俱到，而且适当地降低数学理论表达上的严酷 性和一样平常 性。《数学》总共包罗有二十章，涵盖了上面所说的数学系开设的十一门课程中最基本的起源 内容。
图1 《数学：它的内容、要领和意义（第一、二、三卷）》
虽然《数学》不是一本严酷 意义上的教科书，可是 它在先容 大学数学的主要课程内容时，凭证 数学历史生长的主要线索，力争 通俗地先容 大学数学各主要课程所要解决的问题和一些有代表性的看法和理论。为此《数学》只管 镌汰 使用高深的专业术语，而且选取对解决课程的教学难点有资助的历史素材和至关主要 的头脑 要领，起劲 还原被擦去的“走过的足迹”。由于《数学》充实地使用 了历史途径法来深入浅出地诠释 大学数学各门课程中一些最基本看法和理论的内在 ，以是 它对现在 有较量 严密的理论系统 的各门大学数学课程和教科书来说，是一个极好的增补。笔者特殊 建议数学系的同砚 们在学习各门大学数学课程前，先专心 地读一遍《数学》中的相关章节。
图2 《数学：它的内容、要领和意义》第二、三卷各章的内容
下面主要就针对大学数学系的十一门课程，划分对《数学》所先容 的内容、以及它们与这些数学课程的历史生长之间的细密 联系作一些简要的剖析 与说明。
一、数学剖析现在 海内数学剖析 课程的内容一样平常 由极限论、一元微积分、级数论和多元微积分这四大部门所组成，其中一元微积分对应了通常外洋所说的“初等微积分”课程，而极限论、级数论和多元微积分这三部门则对应了外洋所说的“高等微积分”课程。
极限理论的主要内容有：数列的极限、函数的极限、一连 函数、关于实数的基本定理、以及闭区间上一连 函数的性子 。之以是 要在讲微积分前系统地讲清晰 极限的理论，主要是想为整个数学剖析 课程打好一个坚实的数学理论推理的基础。可是 这个教学系统 的主要弱点 是：当学生对微积分还没有一个起源 的相识 时，就直接让学生学习严酷 的极限理论，容易造成一定的学习难题 。
在历史上，在微积分理论生长了快要两百年后，才逐步 泛起了严酷 的极限理论。极限理论的主要目的是为相识 决求微分或导数、求积分、以及判别级数的收敛性时泛起的种种难题 问题。例如，是不是一连 函数都可微？是不是可微函数都一连 ？若一个函数在每一点可微，那么它的导函数是否一连 ？反过来，一连 函数可微吗？历史上还曾经泛起过令人震惊的一连 但不行微函数的例子。为此必须仔细地考察导数的界说及其基天性子 ，以及研究函数的一连 性，而不是仅仅依赖一连 的直观形象。在此之前就一定要引入函数极限的严酷 界说，从而自然导致泛起了函数极限的﹣界说。这个界说把注重 力集中在怎样 准确 地表达“要多小就有多小”的问题上，从而可以彻底解决所有有关收敛性的疑心 。这些令人疑心 的收敛性问题还包罗了“一连 函数的一个收敛级数的和是否一定一连 ”的经典问题，它的彻底解决依赖 了一个从ε-δ 界说生长出来的一致收敛界说。
很显着 ，只有对初等微积分已经有了起源 的相识 ，才气较量 好地明确 严酷 的极限理论。在《数学》的第二章“数学剖析 ”中，作者详细先容 了初等微积分理论中各个主要内容，它们包罗数列与函数的直观极限界说、一元一连 函数与导数、一元函数的极值与图形、泰勒公式、定积分与不定积分、多元函数与偏导数、重积分、线积分与面积分、级数论等基本内容。《数学》的作者从历史生长的角度出发，能够深入浅出地诠释 微积分基础理论中最基本的头脑 。例如在“极限”这一节中，作者虽然没有明确地使用准确 的﹣界说来证实 有关数列的极限，可是 却用了详细 的数值例子来说明这个极限界说的内在寄义。
又如在讲牛顿-莱布尼茨公式时，该书只管 没有证实 这个基本公式，却用很是简朴的物理学推理来说明这个公式的合理性与准确 性。尚有 在“级数”这一节中，作者不仅先容 了数项级数收敛和绝对收敛的看法，而且还讨论了函数项级数的一致收敛的基本看法（该书将一致收敛译成了“匀称 收敛”）。这使我们看到，不借助于严酷 的ε-δ 语言，同样可以睁开 关于具有一致收敛性的函数项级数性子 的讨论。特殊 是在“级数”这一节的后半部门，作者仔细诠释 了幂级数理论的基本头脑 ，其要领是先举例说明幂级数是有收敛区间的，然后在一个特定区间上详细 地考察函数1/(1-x) 与它的幂级数睁开 式到底相差几多（即用了前8项就可以到达0.01的准确 度），从而让学生体会幂级数收敛的寄义（见图3）。
图3 《数学》用详细 例子说明幂级数收敛的寄义
接下来为了说明幂级数的用处，作者先用幂级数的要领来解一个最简朴的微分方程y'=y，这个方程的级数解虽然就是指数函数e^x，然后说明用幂级数来解一样平常 的微分方程，所获得的解并纷歧定就是学生们熟悉的初等函数，作者举了贝塞尔函数的例子（它是贝塞尔微分方程的解），从而很好地诠释 了函数项级数的一个主要用途是求解微分方程，以及它对于发生更多的新函数所起的要害作用。
二、高等代数（或线性代数）数学家丘成桐先生曾经说过：“要学好微积分和线性代数，归根结底一切高级的数学都是微积分和线性代数的种种转变 。”（转引自林群先生的微信文章“怎样学好数学”）
丘先生的这句话很好地说明晰 线性代数这门课程在大学数学课程系统 中的基础职位。
在大学数学中，“线性”两字的寄义是指一次关系式。由于“以直代曲”是人们处置赏罚 许多数学问题的常用思绪 ，以是 经常将重大 的数学问题归结为较量 简朴的线性问题，这样，线性代数的理论与要领就渗透到现代数学的许多分支学科。
线性代数的内容大致可以分为两大部门：第一部门包罗了矩阵论、行列式、线性方程组等内容，第二部门则主要包罗了线性空间、线性变换、欧氏空间等内容。线性代数教学的一个主要误区是人们往往只注重演绎证实 ，而不太重视先容 线性代数的头脑 泉源 和富厚的应用，特殊 是忽视对低维（或低阶）情形的讨论。
在线性代数的历史生长历程 中，二次型及其矩阵的特征值起到了突出的作用，这是由于 它直接指导 出后续的“对角化”这一线性代数的中央 主题。早在18世纪之前，数学家们就已经解决了二次曲线的化简问题，也就是通过旋转坐标轴，可以将二次曲线方程中的二次型化成只有平方项的尺度形，再经由 坐标轴的平移，就获得了二次曲线的尺度方程。在18世纪，欧拉和拉格朗日在研究化简二次曲面的方程时，获得了3个变量二次型的主轴定理，而到了19世纪初期，数学家柯西进一步证实 晰 个变量二次型的主轴定理。主轴定理用矩阵的语言来说就是：实对称矩阵一定和一个对角矩阵相似，而且这个对角矩阵的所有对角元素都是该实对称矩阵的特征值。
这个一样平常 二次型化简问题的彻底解决逐渐引发了后续关于矩阵对角化问题的一系列研究。今天的矩阵特征值看法是数学家凯莱在19世纪中期建设矩阵论的历程中正式提出的，而线性变换的特征值的看法则一直要等到20世纪初，人们在研究积分方程的求解问题以及相关的泛函剖析 问题时，才逐渐发生线性变换的特征值的看法，这个看法是矩阵特征值看法的深刻推广。例如在积分方程的研究中，需要盘算如下线性变换
的特征值，其所对应的特征向量可以用来结构相关的积分方程的解，这里的是函数空间上的一个线性变换。此时出于研究函数空间的需要，数学家们以高维欧氏空间 以及其上的线性变换为蓝本，提出了一样平常 的线性空间和线性变换的理论，而且把空间中的主轴定理推广到了一样平常 的欧氏空间（也称为“内积空间”）。
《数学》第三卷的第十六章详细先容 了线性代数这门课程的基本头脑 。在今天看来，很是基本的线性代数课程要放在第三卷才先容 ，是有些希奇 的。这说明在写作《数学》的上世纪50年月 ，苏联的大学数学系学生要在大学的高年级才最先 学习线性代数这门课程。而上世纪的50年月 正是由近代数学转换到现代数学的年月 ，现代数学区别于近代数学的一个主要 标志是：现代数学主要研究高维空间（或高维流形），而近代数学则主要研究三维空间。线性代数这门课程的性子 就决议 了它是研究高维几何空间的必备工具。
在线性代数这一章的第一节，作者先容 了矩阵运算的基天性子 ，特殊 是用一连 举行 两次线性替换的例子来引入矩阵的乘法运算。第二节是讲线性空间和欧氏空间的界说，以及它们的基本几何性子 ，作者特殊 注重对于线性相关和线性无关理论的叙述 ，这是线性空间理论的焦点部门。作者将一组向量线性相关界说为其中的一个向量是其余向量的线性组合（这较量 容易明确 ），而且从几何的角度将k个向量线性相关归纳为它们落在一个维数小于的一个子空间中。第三节先容 线性方程组和行列式的盘算，以及它们的主要性子 。作者在这里将行列式与线性方程组团结 起来讲，就能够讲清晰 行列式理论的前因后果 。对于线性方程组的一样平常 理论，也是从直观的几何角度来诠释 解空间的几何结构。第四节解说了线性变换理论的基本头脑 ，其中包罗了矩阵对角化的一样平常 效果 ——若尔当尺度形。
作者在第五节重点讲了二次型的经典理论。首先是详细诠释 了一个二元函数的极值问题是怎样归结为一个二次型问题的，然后和我们通常的课本 一样，讲怎样 用配要领来化简一样平常 的二次型，以及二次型的惯性定律。接下来，作者用了一个较量 初等的推理历程，详细证实 晰 一样平常 二次型的主轴定理，即可以运用正交线性替换来化简二次型，其中显示了特征值与特征向量的基本作用。在这里，作者大致就是凭证 历史生长的途径来讲的（用二次型的化简问题来引出和联系线性代数中主要的学习内容，也成为了笔者在2019年新编写的课本 《高等代数与剖析 几何》（上、下册）中的指导头脑 ）。作者在第六节还进一步先容 了在应用中特殊 有用的矩阵函数，特殊 是矩阵的指数函数在解线性常微分方程组中的应用。
三、常微分方程常微分方程是含有自变量、未知函数及它的导数的等式。常微分方程这门课程的主要内容有：一阶常微分方程的初等解法、一阶常微分方程的解的存在定理、高阶常微分方程、线性微分方程组、非线性微分方程组和稳固 性。这门课程需要用到数学剖析 和线性代数中的一些基本知识。
在历史上，许多涉及运动与演化的物理问题和手艺 问题的研究都可以化归为常微分方程的求解问题，这是由于 反映自然纪律的量与量之间函数关系往往不能直接写出来，而此时却较量 容易建设这些变量与它们的导数之间的关系式。一样平常 来说，绝大多数的微分方程都是较量 难求解的，因此对于学生来说，主要 的是：通过这门课程的学习，来掌握处置赏罚 微分方程问题最基本的头脑 要领，而不是着眼于求解详细 某一类的微分方程。
《数学》的第二卷第五章专门讲常微分方程。这一章的目的是使学生对这门课程先有一个整体的相识 ，并力争 说明常微分方程理论所要解决的主要问题是什么。作者以一个简朴的齐次线性常系数微分方程
为例，很是仔细地说明晰 怎样 将这个微分方程转化为一个一元二次方程，从而可以求出它的准确 解，而且对所求出的通解，还要考察其唯一性和稳固 性，以及从物理学（振动）的角度，来看它与相关的非齐次微分方程解的联系。接下来，作者进一步先容 了一样平常 常微分方程的解的存在性和唯一性定理，特殊 是在求不出准确 解的情形 下，经常需要运用经典的欧拉折线法和逐次迫近法来求出常微分方程的近似解。
此外，《数学》的作者还用了相当多的篇幅，重点先容 了常微分方程的奇点看法和定性理论的基本头脑 ，这个定性理论在常微分方程的一样平常 理论中占有主要 的职位。
四、复变函数论微积分理论所处置赏罚 的函数主要是实函数，当我们将微分与积分的理论平行推广到复函数时，就形成了一门崭新的理论——复变函数论，这个新理论与原来的微积分相比，内容不仅越发富厚多彩，而且理论上也越发完善 。复变函数论这门课程的内容主要有：剖析 函数、复积分、复级数、留数、剖析 开拓、协调 函数。
复变函数论曾经被数学史家M.克莱因(M.Kline)称为是19世纪最奇异 的缔造，“这一最丰饶的数学分支，曾被称为这个世纪的数学享受，它也曾被欢呼为抽象科学中最协调 的理论之一。”在19世纪初，柯西在研究盘算二重积分的累次积分要领时，无意中发现了复变函数论中著名的柯西积分定理——全纯(剖析 )函数在单连通区域界线 上的复积分为零，由此进一步获得了关于复积分和留数盘算等一系列基本效果 。
《数学》的第二卷第九章专门先容 了复变函数论这门课程的基本想法。作者在这一章的第1节指出，复数的主要 意义首先体现在代数学基本定理中，这个定理说：任何n次复系数代数方程必有n个根，而这个结论对实系数方程就不建设。这说明只有在复数域中思量 问题，才气获得清晰完善 的效果 。
然后作者进一步从复变函数的角度诠释 了在数学剖析 课中讲的：实函数1/(1+x^2)的幂级数睁开 式的收敛区间为什么是(-1,1)，，这是由于 当我们把这个幂级数放到复数域上来思量 时，就发现这个复幂级数的收敛半径即是1，纵然得该级数收敛的点都位于以原点为心、半径为1的圆内。而导致这个事实的缘故原由 竟然是这个圆的圆周上有两个点 i和-i ，复函数1/(1+x^2)在这两点变为无限 （见图4），
图4
这就从本质上诠释 清晰 了为什么原来的实幂级数睁开 式的收敛区间为什么是(-1,1)。
接下来作者还用复变函数的幂级数睁开 式推导出了很是著名 的欧拉公式。
作者所举的以上这些很好的例子能够使学生起源 熟悉 到：复变函数并不是一种虚无缥缈的工具，而是有着现实 意义的真实看法。
《数学》的作者在第九章的第2节，先容 了复变函数论在流体力学和飞机机翼设计中的精彩应用，在第3节先容 了很主要 的复变函数与几何共形映射之间的亲近 联系。作者在第4节中，向导 读者进入了复变函数理论的焦点部门——复积分与柯西积分公式。虽然复积分是数学剖析 中线积分界说的简朴推广，然而它却成为了证实 剖析 函数优异 性子 的主要工具。只管 作者没有在该书中详细地证实 最基本的柯西积分定理，但照旧很是仔细地推导了在复变函数论中重复使用的柯西积分公式，这个推导历程充实显示了复积分的基天性子 。最后，作者在第5节进一步先容 了剖析 开拓和黎曼面的基本看法。