“荃者以是 在鱼，得鱼而忘荃；蹄者以是 在兔，得兔而忘蹄。”
——《庄子·外物》
弁言数学中的正义化要领可以追溯到古希腊时期的旷世名著《几何原本》，之后便被视为追求 真理的要领规范。到了二十世纪初，随着第三次数学危急 的到来，数学家们则更像是找到了救命稻草一样平常 ，将正义化要领运用到极致，而数学自身的特点也将正义化至于至高无上的职位。于是，正义化要领成了现代数学的基础要领，在某种水平上，现代数学生长的历程，就是新的正义系统 一直 发生的历程。
可是 ，现代数学中的正义化要领和古希腊时期的正义化要领却有着显着 区别。《几何原本》中的那几条正义，都是直接从直观中总结出来的很是显着 的命题。可是 在现代数学中，正义系统 的泉源 上却不是感性直观，而是对已有的数学工具举行 总结，层层剥离，抓其本质，最终获得一系列作为证实 条件 的结论，而这些结论，则与直观相距甚远，若是 不相识 它的数学配景，那么读者只会以为 不知所云。
正义化要领的优越性自不必说，看看今世数学日新月异的生长势头和书架上那让人眩晕的一排排大部头著作，就能明确 正义化要领在多洪流平上扩展了数学王国的领域。可是 ，这一要领在使人们越发深刻的掌握本质的同时，却存在着很大的缺陷。我们获取正义的要领是抽象化，就是在某一大类数学工具的种种属性中去除一部门，而保留其中一些被我们视为是工具本质，所有工具所共有的的那些属性，这些保留的属性就是新系统 中的一条条正义，以此获得新的正义系统。我们在获取新正义之后，就会以此作为一切证实 的起点 ，而对那些被扬弃 的属性则不再理睬。无数数学家们艰辛卓绝的起劲 就由此由于 几条无关看似痛痒的命题而被萧条 一旁，这颇有点类似于庄子所说的“得鱼而忘筌”。问题的要害在于，那些被我们扬弃 的命题内里 不仅包罗了无数才气横溢的数学家们最名贵的智慧结晶，更包罗了一个数学工具的原始念头 ，将它们丢掉，无异于如入宝山而空手归，我们无法从那仅剩的几条性子 中窥探数学工具的真正内在 ，虽然更不能体会到祖先 们在数学的荆棘丛中跋涉的艰辛，我们也就很难对他们怀有那些本应有的仰慕 之情。我们获得了鱼，却将竹篓丢掉，等下次打鱼的时间 ，一定会茫然若失！
数学中随处都是这样的例子，我们可以从中体会到那些丢掉的工具对数学工具的感性明确 有何等致命。
1、实数：从结构到正义化界说对于剖析 学中最基本的看法——实数，传统数学剖析 课本中有一个十分沉闷而乏味的诠释 ，即：完整 的阿基米德有序域。从这个界说内里 基础看不出任何头脑 的闪光点，初学者更会被这个“起源 盖脸 ”的界说搞得莫名其妙。事实上，从人们感性上意识到实数的存在到上述界说的提出，历经了两千五百多年，尤其是近二百年来，包罗柯西(Cauchy)、波尔查诺(Bolzano)、魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、康托(Cantor)、皮亚诺(Peano)、感德金(Dedekind)在内一大批才思卓绝的数学家们，经由 苦苦探索，才最终精准地完成了实数系的结构事情，其中最著名的事情由感德金完成，他的“感德金支解”被数学家们惊为神作。然而，当耗尽了人类两千五百年漫长时光获得实数的准确 界说以后，我们却只从中挑出来四个词——“完整 、阿基米德性、有序、域”，那些数学家们的伟大收获 却只字不提。当初为了证实 确界原理等一系列定理所支付的起劲 只用“完整 ”二字便所有 归纳综合，试想，当初学者们面临 这些词的时间 ，他又怎能体会到人类的才智有何等的伟大！不相识 实数系那细腻 绝伦的结构性界说，又怎么能为人类理性取得云云 重大 的成就而感应自豪。
苏联数学家卓里奇Zorich在他著名的《数学剖析 》中说得好：
“想象一下，若是 你没有履历 过从把苹果，方体或者其它的叫得着名字的实体相加的阶段到把抽象的自然数举行 相加的阶段，你没有学习过对线段举行 丈量并最终获得有理数，你不知道古代人关于正方形对角线不能被它的边长约分，因此它的边长不是有理数，从而我们需要无理数这一伟大发现，你没有在丈量历程中泛起的更大和更小这些看法，你没有使用 例如实直线这些工具来为你自己构想出顺序。若是 所有这些基础事情都没有发生，那么你将会很难接受刚刚列出的正义是智慧探索的效果 ，它们将会被视为是一个很是希奇 的和随意的想象力的产物。”
2、测度论：从Lebegue测度到测度二十世纪初剖析 学领域最震天动地 的大事就是勒贝格测度(Lebesgue measure)与勒贝格积分(Lebesgue integral)的建设，伟大的数学家勒贝格战胜 Jordan测度的缺陷，缔造性地用可数笼罩取代有限笼罩，重新界说了测度，为剖析 学的生长开发 了新的天地。这一成就被人们津津乐道，至今我们越来越能感受到勒贝格那天才的灵光闪现。测度的正则性定理、Egoroff定理，Lusin定理，Riesz定理，随处都透着勒贝格测度理论的精妙与协调 ，让人为这样一个美妙的理论叹为观止。
然而，再精妙的理论也会不行阻止 地走向抽象。现代测度论终于照旧降生了，数学家们用无比犀利的眼光 将测度简简朴单地界说为知足 可数可加性的集函数，而勒贝格测度仅仅被界说为知足 平移稳固 性的博雷尔测度(Borel measure)，只两句话就让勒贝格的理论全无用武之地。现在 ，当一个学习实剖析 或者概率论的学生看到课本上的“测度”二字时，生怕 无法体会到在二十世纪出谁人 风云激荡的年月 数学家们走过了怎样的风雨旅程 。
3、开集：从怀抱空间到拓扑空间开集的每一点都是内点，以是 开集是一连 统的最小单元，而实数系是一连 统的唯一代表，因此，只用开集便可以完全形貌 实数系的种种涉及一连 的性子 。数学家们对实数集上开集和闭集的界说可以说是彻彻底底的说清了“一连 ”的本质，由此建设了一系列涉及一连 的定理，最著名的就是每个大一学生都市遇到的闭区间上一连 函数的性子 。从中我们可以看出实数系的界说是何等的精妙。虽然数学家们并不知知足 ，他们将开集从实数系推广到怀抱空间(metric space)，由于 怀抱空间强烈的依赖于实数系，因此这一推广并没有对开集所体现的一连 性子 造成损害，在怀抱空间中我们依然可以浏览 到开集是怎样 优雅的走进数学工具最本质的内在 中去。不外，当开集被数学家们进一步推广，直到拓扑空间(topology space)的发生之后，情形 就变得完全纷歧样了。
为了研究所谓的“几何图形在一连 变换下的稳固 性子 ”，数学家们把开集抽象到了无以附加的高度，于是发生了拓扑空间。在这里，荟萃可以是恣意 荟萃，子集也可以是任何子集，只要知足 条件 给定的三个条件，我们悲剧的看到，拓扑空间里的开集已经损失 了一切有关一连 的内在 。一旦脱离 了一连 ，我们基础就不知道“开集”事实 为何物而又从何而来，一切都只剩下一个名词而已，就好比一篇美文只剩下问题 ，一栋衡宇只剩下围墙。若是 不相识 开集的原始界说，每个初学者在接触点集拓扑时，或许都市被这个看法搅得云里雾里。
4、算子：从B(X)到C*-代数Banach空间X上有界线性算子的全体B(X)组成Banach空间，这是泛函剖析 内里 一个基本而且十分优美的结论，这个定理的完整证实 可以让人们对于泛函剖析 这门科目“窥一斑可见全豹”，而随着研究的深入，这一结论再次为抽象化铺平了蹊径 。盖尔丰德(Gelfand)、冯诺依曼(Von Neumann)等数学大师的泛起，使得算子代数应运而生。这一次或许是由于算子自己具有异常重大 的结构，抽象的效果 并不像之前三个看法那样优美而精练 ，所保留的作为正义的命题较量 多。可是 这样反而更让人对那几条叙述奇异 的命题感应摸不着头脑。数学家们把B(X)抽象成为C*-代数，即赋予了对合映射并知足 范数不等式的Banach代数，其中的对合映射是要害，它包罗了一系列的正义条件 ，而这些条件 所有 泉源 于共轭算子的种种性子 。若是 读者对共轭算子不够相识 ，甚至对高等代数里的陪同矩阵也只是知之甚少的话，则只会在一大堆堆砌在一起的数学符号里迷失偏向，更有可能损失 对整门课程的兴趣。
5、同调：从拓扑到代数若是 没有学习过代数拓扑，直接学习同调代数，或许在操作上并不会泛起什么难题 ，可是 ，若是 问起，为什么要把一系列Abel群放在一起做成一个链？为什么他们之间还要界说同态？更主要 的是，为什么这一系列同态要知足 “两次边缘为零”？虽然尚有 ，为什么要给这么一个稀奇离奇的工具取一个越发稀奇离奇的名字“链复形”？生怕 所有学生都市哑然失声，这些问题无法回覆，学生也就会以为 这门课程索然无味，这生怕 即是抽象的恶果。事实上，同调(Homology)这个工具泉源 于代数拓扑，是由法国数学家庞加莱(Poincare)开创的，它有着强烈的几何配景。在代数拓扑中，每一个维度的几何空间都有一些最简朴规则的几何图形，称为“单形”，由单形组成的更重大 的图形称为“复形”，而对每一个复形，我们都通过巧妙的手法界说了一系列Abel群以及其上的同态映射，而且证实 晰 这些同态知足 二次作用为零。这即是同调群的最初泉源 ，而随着Elienberg，MacLane等人事情的睁开 ，同调群被抽象了，它彻底挣脱了原始的几何配景，只剩下几条看似毫无凭证 的命题，这即是课本上链复形的界说。这个界说看起来是云云 重大 ，但它不外就是把代数拓扑中的界说原封不动的搬了过来，虽然，几何配景的损失 导致了明确 的难题 ，若是 不学习代数拓扑而直接学习同调代数，其效果 只能是相当于在制作蜃楼海市 。
结语上述五个例子已经充实说明，抽象化在推进数学飞速生长的同时，又给数学造成了何等大的损失。面临 这一状态 ，我们只能召唤超人，这样的超人，不仅可以在纯粹理性的高度熟稔的将抽象的数学符号玩弄于拍手之中，一直 到到新的高度，又可以对数学看法的原始内在 烂熟于心，往复 自若 ，为所欲为 ，既能捕捉大鱼，又随时随刻把竹篓背在身上，牢牢绑紧，永不扬弃 。这样的超人，才是数学生长的最终希望！