黎景辉
作者 | 黎景辉（首都师范大学数学科学学院讲座教学）
泉源 | 数学教育学报（2014 年 2 月 Vol.23, No.1）
转自 | 和乐数学，原文问题 为《关于数学教育知识链的转达 问题》，本文问题 引用自原文结语的一句话。本文对原文个体字词举行 了修订，转载请注明出处。
0简介
作者先容 ：黎景辉教授是国际着名 数学家，研究偏向为代数数论。黎教授 1974 年获得耶鲁大学博士学位，师从著名数学家Robert Langlands。黎教授曾在香港中文大学、悉尼大学等高等学府任教，现在是首都师范大学讲座教授。黎教授有许多很是优异 的著作，如教科书《二阶矩阵群的体现与自守形式》《高等线性代数学》《模曲线导引》《拓扑群引论》《代数群引论》《代数数论》，尚有 许多面向公共的值得重复品读的文章。
本文摘要：数学教育是知识转达 链。新的数学，特殊 是改变数学基天性子 的新发现，对这个知识链的内容发生压力。Voevodsky 用拓扑学的同伦论建设了新的数学基础，这里对新知识在数学教育链转达 的一些问题、建媾和 对英才数学教育的影响举行 探讨。
要害词：数学教育；知识链；英才数学教育
中图分类号：G420 文献标识码：A
文章编号：1004-9894（2014）01-0009-07
1弁言
小学中学大学数学教育是一个连在一起的有机体，变换任何一部门都市影响全身。可以把从小学到大学的数学教育看作一个知识转达 链，也可以做个模子 把这个知识转达 链看作一根水管，数学知识就在这水管中流着。
记得杨振宁先生的父亲杨武之教授说，民初中国大学数学系只是教学三角、几何、二次方程。今日这些已是中学数学的尺度课程。这就是研究者在这里所讲的：数学知识在这管里流着，以前是大学数学的内容，现在已经流到中学去了。同样，现在大学本科数学的主力课程是矩阵线性代数，欧拉-黎曼式微积分，微分方程是 19 世纪的数学，在 21 世纪是否可以把这些课程下移，是否可以在大学本科教学多一些 20 世纪的数学呢？
现代科技高速前进，新的数学和数学新的应用一直 涌现。就像在水管的源头一直 有水涌出来要灌入这水管里。举个例子，Voevodsky（北京 2002 年 Fields 奖得主）在 2012 年提出：当今的数学已是在末路。现行以荟萃论作为基础的数学已没法解决数学以内至工程之中的数学问题！他高举新的数学革命旌旗 ，他提出 Homotopy Type Theory 作为新的数学基础，重新再造数学！这个新的数学革命会引起什么数学教育的问题呢？
这里要讨论的是中学、大学数学教育整个知识链在新世纪要面临 的一些问题与难题 。
2新数学
已往几百年每代的人都市听到一再 “新数学”这句话。这个“新”字有“时间”的意义。信托 未来会有许多“新”的数学会泛起。不外在这里只想谈谈 Voevodsky 的革命性的“新”的数学基础！
借 Voevodsky 的革命性的“新”的数学基础为例子提出这样的问题：要设立什么机制使得“新数学”是经常的、一连 的溶入大、中、小学的数学课程。这里不是指十年一次那种天翻地覆的大改变。
在工业手艺 上外洋企业重视知识链的高速转达 。中国企业与外洋企业的差距体现在自主创新能力的不足。外洋企业重点投入新原理、新手艺 的缔造与应用。国际电脑公司 IBM 的 Watson 研究所竟是一座城（Yorktown Heights, 纽约州）！为了快速投产，中国企业往往是型号牵引跟踪式的研究。忽视知识链的整体性和转达 速率 。中国的工程师从来没有看过美国或俄国现役的第五代的攻击核潜艇和洲际导弹核潜艇，只好试验造第二代的核潜艇。中国十万人航天工业的探月手艺 是有个此外突破，但整体手艺 还未到达 40 年前美苏可以做到的。一位两弹一星专家曾经提醒道：“我们不知道他们怎样做，他们知道的也不会告诉我们。”不要遗忘 20 世纪六七十年月 的中止 ，今日中国照旧不会造电脑晶片（CPU）, 大型喷射机用的涡扇发念头 ，大型船舰用的核反映堆，射程 1.5 万公里多弹头重型固体燃料导弹，巡航导弹所携带的小型核弹头，鱼雷发射潜艇对空导弹。也许这些只是需要刷新 现有数学的应用，不外若是 一个“新”的数学乐成了，继而引起工业手艺 的大刷新 ，但我们的数学教育却没有适当地反映这些新潮水，以至自己的工艺又落伍 几十年！那各人的过失就大了！
Voevodsky，苏联人，莫斯科国立大学结业，美国哈佛大学博士，导师是苏联人 Kazhdan，现为在美国 Princeton 的高等研究所（IAS）教授（编者注：Voevodsky教授于2017年逝世）。Voevodsky 第一个创新的事情是用多值映射解决在代数几何领域是没有足够多代数映射可用来结构一连 同伦的问题。用此他解决 Milnor 的一个代数 K 理论里关于二次型的问题，在 2002 年获得菲尔兹奖（2002 年第 24 届国际数学家大会在中国北京举行 ，颁奖式在北京人民大礼堂 举行）。
在此简朴地先容 这个“新”的数学基础。故事要从 19 世纪末 20 世纪初最先 。那时数学家极希望把数学建设在一个严密没有内存矛盾的基础上。其时研究数学基础（Foundation of Mathematics）的 3 个主要派系是：
(1)Formalism（形式派）。这一派以为 数学是一个形式系统。所谓形式系统包罗：符号、正义、推理规则和定理。可以把推理规则看作符号的组合规则 (deduction rules are combinatorial rules)。形式系统的基本要求是不存在相互矛盾的定理。形式系统是与现实天下 知知趣 互自力 。正如讨论数学与物理的关系，可问：怎样把形式系统内的定理应用到现实天下 (Anwendungsproblem), 但这是形式系统外的问题。主要向导 人有 Hilbert 和 Godel。Hilbert 的主要著作：《几何基础》，这是中国从事盘算机自动证实 的人都很熟悉的一本书。尚有 他和 Bernays 合著的《数学基础》。
(2)Intuitionism（直觉派）。这一派以为 数学的推理只是用了简朴的、传统的逻辑，而传统逻辑的推理只是用了“子集”这个想法。现实 上没有理由云云 地限制推理。他们以为 原始的数学看法来自直觉。只允许 用结构法 (Constructive Method) 导出新的界说。第一个系统地这样想的人是 Brouwer，其他人尚有 Poincaré、Weyl 和 Heyting。
(3)Logicism（逻辑派）。他们以为 可以在一个逻辑系统内界说所有数学看法和证实 所有数学定理。这样看“数学”是一种逻辑结构。Russel 和 Whitehead 在他们的《数学原理》就建设了这样的系统。亦可参看所引 Frege 的著作。
在这里不妄想 批判这些看法及诠释 为什么这些理论的生长突然停下来。请随研究者跳过一世纪到 2012 年。Voevodsky 提出对数理逻辑中的 Martin-Lof 的直觉类型论 (Intuitionistic Type Theory) 给以同伦论 (Homotopy theory) 诠释 ，以此建设“以盘算为基础”的数学。Voevodsky 的看法是：定理的证实 是形式系统内在的一部门。证实 的准确 性的磨练 就像法式的测试与性能剖析 一样。在这个看法下，就像类型论岀现在函数式编程 (Functional Programming) 一样，他生长同伦类型论 (Homotopy Type Theory) 作为数学基础。这样他对数学“证实 ”给了新的界说，本质上改变了数学，以是 可以说是一个数学革命。在这种意义下数学会怎样生长呢？Voevodsky 为他的想法开设了一个网站：homotopytypetheory.org。
在这统一 时期，哈佛大学的 Jacob Lurie 快将完成了 Quillen 的想法的第一步：把同伦论溶入代数几何。这就是研究者在《谈谈代数数论》(《数学转达 》) 一文中所说的第五波：把交流环领域变为单纯形环领域 (Category of Simplicial Rings) 得出的代数几何在数论的应用。
Voevodsky 和 Lurie 都在谈同伦论。可是 Voevodsky 讲的是数学基础，什么是证实 ，若是 扩大证实 的界说，将会发生许多新的数学。另一方面在 Lurie 的理论，他需要使用 Higher Category 理论，他为此写了一本 Higher Topos 的书。虽然还未弄清晰 ，Voevodsky 以为 他的理论是与 Higher Category 有关系的。
这似乎说：同伦论正在揪起一场数学革命，但却没有说：放下现有的一切，推行 Voevodsky-Lurie。研究者只是说：请想想怎样一直 地把新头脑 输入数学教育系统。只是说：有些新头脑 可能会引起基本的改变，若是 转达 太慢，会有很是严重的不良效果 。现在 情形 是，不光旧的如 Typed Lambda Calculus，就是新的 Higher Category 在中国没有中文书，也没有在数学系开课！
同伦论只是一个例子而已！信托 在盘算机理论、物理、化学、生物学将会有新的数学期待各人纳入自己的课程内。好比盘算机系讲浓密 线性代数 (dense linear algebra)，很少听说数学系开这样的课。
3内容转达
所谓数学教育知识链的“内容”，简朴地说，即是学校先生 所教学的数学课的内容。
建议把部门 20 世纪的数学更早地教给部门学生。这将同时影响中学和大学的数学课程。下面将分成两个部门来讨论。
附带说两句：研究者不完全赞成 西方 20 世纪儿童教育理论，把数学学习看成游戏，把数学的内容全换作一样平常 的实物，外貌上学生更易懂、更快乐，效果 游戏职位过高，学习态度不严肃，学习内容肤浅，学生育 成对科学的结构性的反感与恐惧。请注重 2013 年英国教育部就宣布刷新 要求换回传统严谨的数学！(见文 [24])。游戏是一种学习要领而已，因人因时而异，切勿以此为主。
研究者也不信托 教学生智商测试题即是数学教育。应阻挡用智商测试题取代数学考试，要注重基础数学的教学与考试，阻挡那些选择题的浅易考法。这只不外是用来筛选的一种平价快速行政手段。得出来的是念口诀做了万万 道例题的人，纷歧定是有学问，会数学，有能力的人。很不幸中国一些机构从西方或中国香港的大学的人事治理学系学来这种所谓现代科学要领用来招聘。智商变得太主要 了！
研究者不妄想 辩说数学教育理论、教育哲学、青少年学习心理学和教育政治学，等等，只想讲内容。新的数学一直 地增添 。若是 我们在 21 世纪的中学大学不多教一些 20 世纪的数学，则中国民众的知识链会岀现像“公路交通堵塞”一样的征象 ，已经正在学校教的数学不动地停在路中央 ，另一边新的数学一直 岀现在路的前头，无法进入。各人都市赞成 国民教育不前进 对整个国家的经济生长没有利益。
(1) 中学部。研究者建议在高中建设如大学一样的选课制度，让有能力的学生多学点新的数学内容。高中建设适当的课程系统 以配合新的数学课程结构，使用 选课制度使中学数学教学动态地完成知识转达 使命 。请注重 ：当把新的内容放到中学时，并不是说要把这个转达 数学的管道的半径加大了，不是说在中学里数学课程加大了，先生 的教学量加多了，而是说：当部门大学的内容流到中学去的时间 ，部门中学的数学内容流到小学去，这样教学量不致改变太大。以下讨论 4 点。
①“矩阵线性代数”。这是可以在中学教的，最少最先 时可以讲矩阵与线性方程组求解，未来才加入线性空间和线性变换。
②“欧拉-黎曼式微积分”。可能是受苏联教科书的影响，现在常把“微积分”和“数学剖析 ”合在一起教。效果 有相当多的学生两样都学欠好！“微积分”这样主要 并很是有用的工具学欠好，厥后 的便没法学了。项武义教授在海内出书过一本“微积分”教科书。此书一方面反映把“微积分”和“数学剖析 ”脱离 教的看法，另一方面反映他在美国数十年教大学的履历 。这是很值得参考的课本 。研究者以为 “欧拉-黎曼式微积分”是可以在中学教的。王昆扬教授实验过在北京十一学校教“数学剖析 ”。这个试验乐成的一个缘故原由 是师生都很优异 。对天下 中学而言，在中学里从教“微积分”到教“数学剖析 ”是一个需要时间的“内容转达 ”，是急不来的，也不是立个法便会发生的。
③现在少年都市用电脑。以上矩阵线性代数和微积分都很适合解说应用电脑的利益。随着中学生学会了用电脑解决数学问题，更多人想用 Maple、MATLAB 和 Mathematica 这样的软件。试想天下 有 2000 万中学生每人付 200 美元买一份美国的盘算软件，对整个国家来说这是一个很大的款子 输出！建议自然科学基金和教育部联手出钱造一其中文版类似 MATLAB 的软件，免费给各人使用；建议教育部建设团队建设和支援免费教育软件；建议中国免费教育软件用免费的果真的 Unix（Linux）来写。
④关于几何的教学内容的两点看法。
（甲）在 20 世纪六七十年月 香港的中学教二、三维剖析 几何学和几何拓扑学（橡皮几何一 rubber geometry, 绳结一 knots）。其时入口 的英国教科书现在在香港全都消逝 了。或许学校已不教了，很惋惜 。研究者也念过苏步青先生的《高等几何学》，好比书中诠释 矩阵的对角化与三维空间的二次曲面分类的关系，把矩阵的对角化图象化了，看得见了！今日有电脑之后，无论中学生和大学生都市明确 这种几何学，都市容易接受初等的盘算几何学。这又可以配合前面所建议的：电脑在线性代数和微积分中使用。20 世纪 60 年月 从俄文翻译的一些给中学生看的几何学的书，现在都找不到了，幸好今日有更好的书，如 Shafarevich 与 Nikulin 写的，或者是在网上莫斯科自力 大学几何课本。这些书讲的几何都是有许多图象的。研究者建议增强直观几何学（geometric intuition）的教育。有图可看的几何，可以提供富厚的例子资助磨练 抽象的几何学。睁开 直观几何学的教育的难题 之一是课本 的问题，尤其是缺乏教科书加上相配的动态几何图象电脑软件。
（乙）现在中学常把学平面几何学习换为难题集中营。学生的几何解题行为已被磨炼 成心理学里的条件反射行为。这样，当先生 从更高的看法讲平面几何的结构时学生便没有兴趣了。建议完全改变现行的几何教法。在（甲）中注重几何的直观几何工具，在（乙）中直接面临 问题：把“正义系统”这个看法作为数学内容在这知识链内下传。使用 欧几里得平面几何作为“正义系统”的基本例子来教授“数学结构”。透过正义的转变 来明确 “正义”与“数学结构”的关系。这样使用 “平行正义”的更改就很容易引入 19 世纪的非欧几何的一些基本模子 。要把平面几何从难倒学生的题海中解放出来，让学生相识 ：从假设到结论是一个逻辑推理历程，更明确 ：由电脑法式所证出来的效果 是需要从给定正义最先 的。这一种明确 和训谏使学生明确 包罗数学的所有理论科学的基本精神和结构。这种逻辑头脑 和系统科学是训练科学家和工程师的很是主要 的基础。为了中国的工业生命，这是不行以放弃的！这不是不行能做到的，已往 3 年北师大实验中学初中几何教学就乐成实验过。
（2）大学部。建议大学数学课基本化，也就是让部门有能力的学生修读增强基本化的课程。这里想先容 几件可能做的事。
①数学剖析 。2001 年北京师范大学的王昆扬先生 出书了一本全新的“微积分”教科书逐一 《简明数学剖析 》。王先生 说“打破通例之处，就是用 Lebesgue 积分取代 Riemann 积分……20 世纪建设的 Lebesgue 积分理论战胜 了 Riemann 积分的缺陷……”这本书真的做：在 21 世纪多教一些 20 世纪的数学。研究者以为 不应用这本书去批判这个想法。第一，中国有 300 年写“微积分”教科书的富厚履历 ，单是中国今天就有上百种“微积分”教科书。王先生 这本书是第一本，是个明智的最先 吧！这样的事太少了。多些人多写几本，逐步 就把路找出来了，不用等学外国人怎样做的。第二，对那些在中学已学过以盘算为本的“欧拉-黎曼式微积分”的学生来说，王先生 的说法即是容易自然了。
②逻辑、荟萃论、一样平常 点集拓扑学与领域学。这些都是学一些结构性较量 强的数学的基础。西席 在中学和大学一、二年级都只是教数学盘算，所教所考的微积分和线性代数都是尺度的电脑法式，如用 MATLAB 和 Mathematica 可以容易 解决。结构性的基本数学却教得少。好比逻辑、正义荟萃论、一样平常 点集拓扑学和领域学就很少要求一年级的本科生学习。
20 世纪 60 年月 在香港大学的梁鉴添先生向导 下，在中学教“正义荟萃论”（Axiomatic Set Theory）。梁先生为此写了一部很好的荟萃论教科书。梁先生是周炜良先生的学弟，同是 van der Waerden 的学生。这段时间中国香港训练了一些数学家。厥后为了一律 ，阻挡部门人学好些，倡议“通识”，效果 较量 严紧的数学课本 便淡出了，只有很少部门可以出国念英才中学的人才有更好的学习数学的时机了。在 20 世纪 70 年月 ，研究者在香港中文大学就为数学系一年级本科生开“逻辑-荟萃论”课作为学生学习数学结构与推理的基础训练。最近在北京的书店看看，逻辑书都是为盘算机系、哲学系和社科院的学生写的。在买书网上想找一本莫绍揆先生的逻辑教科书也找不到。
在海内出书用中文写给数学系学生学习的“领域学”教科书还没有见过。暂时不要说要详细地教“领域学”，但教 30 页的领域学是会资助学生明确 更多结构性的问题。盘算机系就常教“领域学”，这原来是数学系的工具，数学系的学生反而不懂，是西席 的错。
Bourbaki 的数学系统就以“荟萃论”和“一样平常 点集拓扑学”为起点。实数就在“一样平常 点集拓扑学”内讲了。并不是说天下 都要学 Bourbaki, 而是说占全天下 五分之一生齿 的大国能容纳得起多种学习数学的要领，有一些人可以学的。Bourbaki 要领是资助学生学习结构性强的数学要领的厉害工具。
③代数拓扑学。中国有一套很好的、北大版的“代数拓扑学”教科书：江泽函《拓扑学引论》, 姜伯驹《同调论》, 廖山涛、刘旺金《同伦论基础》。现在没有几多人用这套书来教学生了。海内还未有人写过一本像 Godement 写的 Topologie algebriques-Theorie Faisceaux 的代数拓扑学课本 。最近外洋的同伦论教科书是有较大的变换。好比：Arkowitz,2011。若是 看看 Brown(Annals,2012) 的 Deligne 的 Mixed Tate Motive 意料 的证实 ，他们用的同伦论的背境是 Bousfield-Kan。看看 Elmendorf 等人的书又是另外一种同伦论了。此外尚有 Voevodsky 和 Lurie 两小我私人 的同伦论。这样看来，中国学者在同伦论的基本课教学已经有许多事要做了。
4英才教育
培育英才是教育事情者们的一个配合的希望。“数学英才教育”可以诠释 为：让部门学生“先富起来”, 就是说：让部门同砚 抽出部门时间提前学习较量 先进的数学手艺 。
不敢说所有人都是这样诠释 “英才教育”。好比有一种做法是把现在 现有课程规模内的习题变为更难的问题 ，让学生一直 地训练 ，以求在中学到大学的高考或大学到研究院的考研取胜。
研究者建议，“英才教育”多走一条路。就是把部门内容向下移：中学的移向小学，大学的移向中学。在现有的课时容纳新的内容。不要只是在难题上下功夫，也可以在内容上下功夫。
自古以来念书是为了找事情。戏曲里就常见穷书生上京考试为做官的故事。今日学生上大学主要是冲着文凭，希望结业后拿着文凭找个高薪的事情。这是全天下 的征象 。这样的学生会经常问：先生 你现在讲的工具跟我未来的事情有什么关系？若是 是“术科”如医、工、法、舞，这样的问题还好答。若是 是“学科”如中文、数学，除了说句“考研有用”就欠好答了。
正当学生迷失在学习与对事情的憧憬之间的时侯，上课的先生 和做头脑 事情的便多了一份事情，改变“真想学的不多”这种征象 ，资助学生信托 ，来到大学的第一件事是：学。
这里所提出的“英才教育”可以资助解决这个问题。以内容取代难题来增添 学习的兴趣，把注重 力引回到数学上。增添 基本结构上的训练以减轻日后学习的难题 ，以便支持学习的兴趣，引起学生的好奇心，以引发学习的动力。已往 100 年数学里便有许多新看法和新想法。这些都不需要许多配景知识便可以透过要害例子说明。讲述和学习这些新的内容会比做难题更容易而且有趣多了。
“英才”两个字引起一些先生 的回应是：我系不是训练“数学家”的。陈省身就说过：中国不需要许多数学家。研究者的回应是：我所谈的内容转达 与更新，不是说几个顶级的专家，而是说提高许多人的数学水平。举个例子，300 年前在欧洲会微积分的人已是数学家。今日莫说全球，单是中国会微积分的工程师就不知有几多。既然不知有什么数学有什么用，数学系帮更多人学更多数学是好的，数学系不光只是训练“数学家”的。
正当各人在忧虑怎样把现有的新学问教给孩子的时侯又有教育家说以为 小学数学太难，应该把学校数学由难变为易。以是 这里的难题 是内外兼有的。这里所说的“英才”数学教育是建议把大中小学的数学水平整体提高到西欧 较量 好的学校的水平。不应该去学外国失败的履历 或所谓平均水平而牺牲了中国最好的孩子，他们是中国科技工业的希望。容易从“英才”推出“不公正”——“为什么我的孩子不是‘英才’？”把学生的数学能力的漫衍看作一个谱，就像天虹是太阳光的光谱。公正的教育不是把这个能力漫衍谱强压缩为一点！弱智的有特殊教育去帮他们，超智的有英才教育去帮他们，这样把整个数学能力漫衍谱拉高。公正的数学教育是把所有的学生的数学水平提高，差异的学生的“高”是差异的。云云 “英才”教育即是公共教育的一部门了。
有些外国大学对本科生开 Advanced Program。每个年级抽最好的 20% 加入。在这些 Advanced Program 中数学内容就增强许多。好比常见在本科一年级上学期以 Dieudonne 的 Foundation of Modern Analysis 来教微积分，这本书的微分是在 Banach 空间上来讲的。多变元微积分是用普林斯顿大学 (Princeton University) 的 Nickerson, Spencer, Steenrod 写的 Advanced Calculus, 这本微积分书已讲层论 (sheaf theory) 了。到四年级下学期学生已经学过交流代数，以是 可以用 Hartshorne 的 Algebraic Geometry 来教代数几何了。相比之下海内能够开出 20 世纪 50 年月 翻译的斯米尔诺夫五卷工程数学的数学系已不错了。硕士班只能开出读导师的论文的准备 役。至于拓扑群、交流代数、领域学、层论和同伦论生怕 只有一小部门的系能全开出来。大学本科生很难获得一个周全 的 20 世纪数学教育。
海内外都有优异 的中学，它们作育 出多名精彩的科学家，想非无意 。也许他们是不自觉地理行了上面所提出的“英才教育”。例如，浙江嘉兴的秀州中学，人才辈出，孕育出了陈省身、李政道、顾功叙、谭其骧、周廷儒、周廷冲、钱俊德、方怀时、潘文渊和程开甲十名院士。美国纽约市的 Bronx High School of Science 是另一个例子。这所公立中学的结业生中有 7 小我私人 获得了诺贝尔物理学奖，1 小我私人 获得了诺贝尔化学奖及 29 个美国科学院院士。在美国麻省的 Andover 有一所古老的著名私立中学 Phillips Academy 的结业生就有 3 人获得了诺贝尔奖。
在德国恒久以来中学分为两种：Gymnasium 和 Schule。科学家多数是念 Gymnasium 结业。这些学校的数学课的内容和水平都较量 高。他们的先生 常是有博士学位，甚至会是著名的数学家。好比 Grassmann 就是一位 Gymnasium 先生 ！
在巴黎大学苏邦 (Sorbonne) 校区旁边有两所著名的中学：Lycee Henri IV 亨利四世中学和 Lycee Louis Le Grand 路易大帝中学。他们开办 Classes preparatoires aux grandes ecoles(简称为 CPGE 或 prepas) 特殊 训谏巴黎地域最优异 的中学去投考 grandes ecoles(高等学校)。这些班虽然不只教“线性代数”和“微积分”了。他们就这样理行研究者上面所提出的“英才教育”。
在法国许多数学家都是巴黎高等师范学校 (ENS) 的结业生。这所高师是法国所谓 grandes ecoles(高等学校) 的其中一所，这些 grandes ecoles 在法国被以为 是比大学高一级的更好的大学。巴黎高师的先生 是由全法选出其时最好的年轻数学教授轮流当的。每个先生 教了 3 年到 5 年后便回到他自己原来的学校。云云 法国把精神 最兴旺 的，在想象力最富厚年岁 的数学人才聚在一起施展 无限 的威力。法国有 11 个菲尔兹奖。河南省的生齿 或许是法国的两倍。若是 按生齿 的比例，河南省应有 20 个菲尔兹奖。若是 说“自己训谏出来”的意思是指“中学、大学、研所、博后”都是在本国完成的，那中国还未有一个“自己训谏出来”的菲尔兹奖。可以说这不是有几多人的问题，也不是没有好的学生。研究者信托 问题在于教育投资漫衍与选项及制度。虽然一小我私人 得了菲尔兹奖只是反映了把他培训出来的国家的数学能力以至工业实力。请看只有河南省一半生齿 的法国出口 Airbus 民航飞机，出口 Lafayette 级稳形护卫舰，出口 Mirage 战斗机，出口发电用的核子反映堆，制造高涵道比涡扇发念头 ，制造欧洲宇航局所用的 Ariane 火箭，制造美国以外唯一的核动力航空母舰。一个占人类五分之一的全球第二大的经济大国对人类知识文化的孝顺 和在数学的投资比起德法二国相对低了许多！
5新内容的问题
若是 各人支持中国在 21 世纪多教一些 20 世纪的数学，则连忙 会有由于 执行而发生的许多问题。信托 各人一直在讨论这些问题。
(1) 学生的能力。
首先要思量 学生的能力。要同时照顾有数学能力的学生及其他的学生，建议在高中建设选科制，让有数学能力的学生选读较量 先进的课题。暂称此为：中学数学课多渠道化。
应该接受的事实：到高中时每个学生都市有差异的能力，有些科学，有些会语言 ，有些会舞蹈 ，学生各有所长，先生 各育所长。可以对高中学生的数学水平有一个起点的要求，但不应要求所有的学生的水平是一样的。否则便抹杀了突破的时机。给以时日，逐步 地渗透，数学水平高的学生把其余的学生的水平也拉高，这样便前进 了，这是一个缓慢的历程。不应该由于 小部门落伍 了，就把全队停下来，甚至退却——把数学课的水平越拉越低，要接受长的战线，让部门学生在前面作战！
现在的孩子是在一个知讯浓密 的情形 (Information dense environment) 下长大的。他们有强烈的求知欲，他们对天下 有自我发现与表达的愿望。让各人以新的数学内容帮帮这些孩子康健地生长！
(2) 中小学先生 的水平。
在职的先生 在师范念书的时间 纷歧定学过这些新的质料。研究者信托 会有先生 愿意 接受新质料带来的挑战。可是 他们去那里学习怎样教些新质料呢？除了新的数学内容，怎样做习题，怎样设计习题呢？尚有 当先生 学了，教了这些新的内容，怎样奖励他们呢！不要突然有 3 年天下 中小学先生 都去念个硕士学位，师范大学做了 3 年生意又什么都没有了，而这些“3 年突然硕士”，会有太多是没有料子的。怎样把这个酿成逐步 举行 的可控历程呢？
(3) 师范大学剩余产能。
自 2000 年后，大学扩招，许多地方的师范大学数学系的结业生人数已凌驾当区域 的新增教席数目。师范大学是有剩余产能的，若是 师范大学使用 剩余产能为在职先生 开设硕士课程，资助在校先生 学习教新的质料，这样一方面解决了先生 水平不高的问题，而且使用了师范大学的剩余产能。
在中国台湾，一些师范大学没有处置赏罚 好剩余产能，只好转型为法商学校，开办医、工科要太多经费了。在海内一些师范学院的舞蹈学系的办公楼是十倍数学系的办公空间，早就看不起数学系的产能价值了。
(4) 执行法式。
绝对不建议由教育局一纸下令 周全 执行。建议用渗透式，逐步 地增添 内容，逐步 地增添 地域。由多数会扩展到小都市，再扩展到墟落 。由最好的中学传到其他中学。由一本大学传到其他大学。
尚有 一个执行的问题：就是教纲问题。由于 教纲简直定，西席 只会按要讨教 学内容。大部门先生 不愿意教授更高阶的内容：①由于 他得不到自制；②家长投诉；③学校评分压力；④地方教育局阻挡。以是 当要改变这个数学逐一 知识转达 链的时间 ，不光单要西席 着力，还要管西席 的支持，真难。
(5) 考试。
不行低估考试对英才数学教育的显着 意义。不考试的工具是没有人要学的，没有校长和党委支持去教的。以是 内容的刷新 便会引起可考科目的改变，以至考试的形式。好比要引入考试选科的形式。也就是说，除了基本数学科之外，还要增添 前进 数学科，让部门学生选考。就是说新内容要纳入高考命题规模内。
美国的一样平常 大学入学考试 (SAT) 数学部门就分两个级别：Level 1 和 Level2。英国伦敦的一样平常 文凭考试 (GCE) 是中学结业生的考试。GCE 有普数 (General Mathematics)、高数 (Advanced Mathematics) 和进数 (Further Mathematics)3 层的考试给学生选择。所有学生都考普数，要到大学念理、工、医、经的学生加考高数，只有那些有兴趣，有能力去念数学系、物理系的学生才会全考普、高、进 3 卷。这样对一样平常 的中学生只考普数压力不会很大。把考试的内容脱离 也疏散了对学生的压力，对家长给先生 的压力，是很值得借鉴的。
下面谈谈“学”与“考”的矛盾。国家对于各级升学（小学→初中，初中→高中，高中→大学）只能接纳考试的措施，这是现在 最公正的录取要领。小老黎民只能尽全力让孩子考高分，进入好大学，改变贫困 的运气 。先生 为了资助学生，为了本人的业绩只好增强作业，课后作业，甚至开补习班。学生便“忙死”了。在这样的情形 下，内容多样化，新内容，新考试，对整个制度有新增压力，学生更惨了。最近一两年，教育部强令“减轻学生肩负”，小学生不许留课外作业，明确宣布各级升学不许与各学科的竞赛挂钩。但先生 们以变相的方式大留作业，学生家长让孩子加入种种课外班的热情不减，由于 这样才气使得学生面临种种考试中胜算较大。这个“学”与“考”的矛盾是不行以由教育事情者解决的。
国家办学为了提高人民的知识水平，以掩护人民在现代科技社会的生产力。当听说电视报导说当地大学结业生的平均人为是每月 4000 元时，人们就以为 在大学坐四年便即是每月 4000 元，这是很大的误会，这是社会问题，不是数学教育问题。
(6) 课本 。
新内容需要新课本 。在美苏用的纷歧定适合中国用。在研究所用的纷歧定适合大学本科用。一个好的例子是：在数学科很是主要 的出书 Springer 就有两个系列：Graduate Text in Mathematics, Undergraduate Text in Mathematics(Universitext)。
在写课本 之前，第一即是配景资料没有充实散播在学校内。好比参考文献所引的关于数学基础的文章书籍在中国就不容易找到。即便找到那种介乎哲学与数学之间的德语、法语的书籍亦不是容易懂的。远一点可以问：为什么网络上的云端手艺 不是在中国提倡呢？为什么美国有全天下 最好的盘算机编程人材呢？除了经济缘故原由 之外，可以说由于 已往 100 年，中国无论工业界、研究所和大学都是要产物，只要学造制品，治理的向导 都要“讲得出，看得见，卖得出去”的工具。但生长编程手艺 是有文化配景的，如数学基础→同伦论→函数式编程→以盘算作为数学基础（Voevodsky）。不行以只教最后一步，好比微积分只教初等函数的微分和积分，但完全遗忘 微积分的力学历史文化配景。
按中国出书社的现行制度编辑的人为与新书出书数目有关。这样已往 60 年来出书过的好书现在都找不到了，出书社不重印了。电脑资讯是日新月异的，10 年前印的关于电脑的书今日可能不大有用。但数学是有累积性的，新是建设在旧的上面，以前 出书过写得好的数学教科书今日照旧可以用来学习的。可是 ，去那里 找这些书呢！好比在外洋，像 Bourbaki 的书不会由于 它旧就找不到。举个例子，不行以说在北京国家图书馆找到廖山涛的《同伦论基础》就可以，作者在肇庆学院就找不到！从广州坐通俗 的慢火车一个小时便到肇庆！远一点的如甘肃的武威，云南的临沧，黑龙江的佳木斯更就不敢说了。
为了让偏远地域的学生都可以学，让每一代学生都可以买来念，建议科学出书社、上海科技出书社、高等教育出书社、人民教育出书社联手建设一个团结 重印社，从他们有版权的旧书中选出一套基本数学好书系列，经常保持印刷，平价卖出。
研究者支持用中文写关于基本数学的书籍。由于 ：第一，对大多数中国学生来说，用中文学习新的看法是较量 容易的；第二，一个民族没有自已数学语言是没有希望的。
(7) 选课。
华罗庚先生说过数学生要学多个外语。虽然不是每小我私人 都有许多学外语的天禀 。研究者曾向一位系主任建议要求数学系本科生每学期念一门外语课。他笑说：不行能！第一，学生已经有许多数学之外的课，没有时间了。第二，外语系不愿意教。
熟识中国高校行政的虽然相识 这件事。研究者亦不想在此讨论解决战略。可是 在英美加学生跨系选课的自由度大得多了。在欧洲研究生甚至可以到此外学校，此外国家选课。
这跟数学有细密 关系。第一，外语对学数学的人很是主要 。在现在 的结构下，数学系学生的外语只好自学自教了。第二，举个例子。各人体贴 CLAY Institute 的 Millenium Prize。其中一个问题是关于 Navier Stokes 方程。也许学点流体力学会资助解决这个问题。若是 数学系不开办此课，只好去物理系或工程学院了。在现在 的结构下，这是不行能的！那么鼎力大举推选 支持交织科学怎样实现呢？
(8) 资源。
多数会的教育局有更多的资源，多数会的怙恃有更强的经济能力，多数会的孩子的数学教育比城外的孩子好。在统一考试，在数学竞赛里多数会的孩子便脱颖而出。不是每一个多数会的数学效果 好的孩子真的对数学有兴趣，真的有天禀 ，脱离 了这个“吃维生素”的情形 便转业了。同时小地方的有天禀 的学生没有措施接触到一流的先生 ，前沿的课本 ，优良的学习资源和情形 。在教育资源的不平衡下很可能隐藏 了小地方有数学天禀 的学生，牺牲了国家名贵的人力工业。
这和新的数学内容转达 有什么关系呢？虽然不能希望先生 脱离 多数会跑去墟落 事情，可是 希望各人慷慨地把多数会的资源所发生的新内容免费传到城外的教育系统内。例如在网上宣布录像或制成 DVD 分发。
多数会的教育局支持多数会的先生 去小地方的学校交流。要小地方的先生 变为考试教练可能难，也许请他们学点新的数学内容教给学生会较量 易吧！
6结语
回首已往一世纪的科技成就，无论是电话、电视、电脑、雷达、火箭、人造卫星、天气展望 、人体血液力学、人脑扫描、生齿 控制、银行利息订价、财经产物设计，等等，都离不开数学。信托 在 21 世纪也会是这样。新的数学为新的科技提供表达和盘算的平台。以是 ，有须要把新的数学传入中国的教育链，以免又落伍 他国一步。
研究者提出的是数学教育知识链上新知识的转达 问题。研究者的建议是：中学数学课多渠道化，大学数学课基本化。希望引起群众为文讨论，定计实验 这一项数学教育工程。
刷新 是牵一发则动全身。各人都知道这是“说易行难”之事。不是两三个先生 的事，是一个需要有足够多的先生 和干部的认同、加入和支持的事，是我们的梦。
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