看到一篇报道，“哈密尔顿-田”、“偏零阶预计”。。。唔，好的，带有原文链接，我以为 就没须要打开了。相比于这个没听过名字的数学意料 ，我们来看看较量 著名的数学表达式吧。今天不看麦克斯韦方程组，看《时间简史》等科普著作都市有一句“为了通俗先容 看法，本文不会泛起任何数学公式”，然后书里突然冒出一句，科学家由广义相对论方程获得一个解，从而发现………………好，我们来看看广义相对论的爱因斯坦引力场方程。下面这个就是了：
====================以下是推导历程和部门解和天体物理学意义=================================
第一节：广义相对论场方程广义相对论是一个关于引力的理论。早在十七世纪牛顿就已经提出了一个引力理论。在牛顿的理论框架下，两个有质量的质点之间存在着引力，其巨细正比于两个质点的质量乘积，反比于质点之间距离的平方，而且偏向通过两个质点之间的连线。牛顿其时已经觉察到，对地球上的物体，地球对所有差异材质的物体吸引水平都是一样的，若是 用物体受到的引力除以物体的质量，获得的比值始终都是一个常数，物理学家们称这个常数为重力加速率 。牛顿用了差异的质料做实验，获得对于差异的质料，这个常数都在某个规模之间颠簸，颠簸规模不凌驾千分之一。到了十九世纪，随着实验精度的提高，这个误差被进一步缩小。爱因斯坦在广义相对论中把这作为一条基本原则，也就是引力对所有同样质量的物体有着同样的吸引强度。进一步，爱因斯坦设想 了旋转圆盘实验和升降机实验，而且得出结论说，在无限 小空间区域里，引力和惯性力无法区分，而由于引力的存在，时空不能再用欧式几何来形貌 ，而应该用黎曼几何来形貌 。爱因斯坦用时空的度规张量取代了牛顿-泊松理论框架下的引力势。有了时空的度规张量，就可以构建出时空的黎曼联络系数，再凭证 黎曼联络系数就可以构建出黎曼曲率张量和Ricci曲率张量。有了这些曲率张量，爱因斯坦断言，引力强度正比于时空曲率。于是到了爱因斯坦这里，一个从古希腊传承到牛顿的传统被复生，那就是用几何学的语言形貌 宇宙。古希腊对几何学赋予了极为高尚的职位，欧几里得的《几何原本》及这本著作建设的正义化系统 开创了西方天下 科学的先河。牛顿显然对这个系统 赞叹不已，而且在牛顿的《自然哲学的数学原理》内里 ，几何学和正义化系统 同样占有 了主导职位。随着厥后剖析 学的进一步生长，牛顿《原理》内里 的几何化的证实 方式被扬弃 ，数学家们最先 越发体贴方程，到了1788年《剖析 力学》揭晓 的时间 ，拉格朗日充满自豪地宣称他的书内里 一个几何图形也没有。可是 到了爱因斯坦的理论框架下，物理学家们重新最先 用几何的语言的来形貌 宇宙，只管 这种几何语言已经不是牛顿所使用的那种几何了。
A. Bianchi恒等式
为了简朴地推导出引力场方程，首先我们需要导出第二Bianchi恒等式。凭证 Cartan方程，我们知道，曲率2-form可以用联络1-form来结构出来，那就是
.
由于
,这里
是一个矩阵，以是 就有
于是曲率2-from就是
其中，
若是 写出矩阵指标，我们就可以获得熟悉的黎曼曲率张量
对Cartan方程求一次外微分，获得
代入
, 就有
.
代入
, 由于
,
,
,
另外界说曲率张量的协变微分为
.
凭证
, 将
的指标所有 睁开 ，代入曲率张量的协变微分，最终获得第二类Bianchi 恒等式为
.
B. Ricci曲率张量
界说Ricci曲率张量为黎曼曲率的缩并，
.
可以证实
. 为了证实 这个关系，我们唯一需要证实 的就是缩并后的黎曼曲率的第一项两个下标对称，就是
. 凭证 黎曼联络系数的界说，我们知道
. 已知若是 一个矩阵
可以对角化，那么可以把这个矩阵写作
. 记
. 矩阵
的行列式为
. 以是
.
求微分，获得
.
记度规张量的行列式为
, 我们就可以获得
.
因此，
.
其余三项很容易看出来是关于两个下标对称的，以是 就获得Ricci曲率张量的两个下标对称这个结论。
C. 爱因斯坦场方程
对Bianchi恒等式做缩并，获得
遐想 到广义相对论中的能量动量张量
及能量动量守恒条件
，可以推测
.
爱因斯坦凭证 牛顿弱引力场近似，确定出来比例常数为
. 以是 爱因斯坦场方程为
.
若是 加上宇宙学常数，方程变为
.
式子中
代表黎曼曲率张量缩并后的里奇（Ricci）张量，
代表曲率标量，
为能量动量张量。
这个方程用来形貌 引力场的详细 情形 ，由于它是一个二阶非线性偏微分方程组，以是 很难获得准确 解，
另外一种推导爱因斯坦引力场方程要领是变分法。界说作用量为
, 对作用量求关于度规张量
的变分，令变分为零，同样可以获得爱因斯坦场方程。这个推导过于繁琐，这里就不再枚举 。
第二节：球对称静态引力场中爱因斯坦场方程的解爱因斯坦最早在1915年11月推导出引力场方程之后就把他的理论应用在太阳系，而且乐成地算出来了困扰天文学界数百年的水星的克日 点进动问题。天文学家的视察发现，哪怕已经扣除了其他大行星的摄动影响，水星的轨道仍然不是一个关闭的椭圆，这就与牛顿的理论展望 相违反 。事实上，水星的轨道是一个进动的椭圆。经由 很大的夸张之后，水星的轨道如图所示：
爱因斯坦用他的理论盘算了水星的轨道，发现他的理论恰恰 可以诠释 为什么水星的轨道不是一个严酷 的椭圆，而且他的盘算效果 与天文视察吻合地很是好。爱因斯坦其时用的是微扰理论，由于 那时他还不知道球对称引力场中场方程的准确 解。球对称引力场中场方程的准确 解是1916年施瓦兹希尔德在一战的战壕里算出来的，而且获得效果 后没多久施瓦兹希尔德就去世了。在这一节，我将展示怎样 推导出球对称引力场中场方程的准确 解。球对称星体不仅有质量，还可以带有电荷，或者有自旋角动量。当星体有质量和电荷时，也可以算出此时引力场方程的准确 解。若是 星体没有电荷，可是 有角动量，那么也可以得加入方程的准确 解，这个解称作Kerr解。Kerr解比没有角动量时的场方程准确 解要重大 得多。这里我们只思量 星体有质量的情形 。一旦有了引力场的准确 解，我们就可以进一步盘算出在这个引力场中有质量粒子和无质量粒子的运动轨道。这也就意味着，当知道了球对称引力场的准确 解之后，我们就可以算出太阳系中水星的轨道和光线的引力偏折。这是下一节的内容。
凭证 Birkhoff's theorem (relativity), 我们可以把球对称引力场的度规写作
.
真空中能量动量张量为零，以是 场方程变为
.
缩并指标后很容易获得
, 以是 场方程可以进一步简化为
.
凭证 上一节内容，我们已经知道Ricci曲率张量可以通过黎曼联络系数算出来，那就是
为了盘算Ricci曲率张量，我们需要先知道黎曼联络系数。黎曼联络系数可以用度规张量直接算出为
也可以凭证 测地线方程直接写出联络系数。测地线方程为
测地线方程可以通过欧拉-拉格朗日方程获得。界说拉格朗日量为
欧拉-拉格朗日方程为
.
由于 有四个坐标，以是 有四个测地线方程，划分为
由此获得所有非零的黎曼联络系数为
Ricci曲率张量的各个非零分量为
I:
II:
III:
IV:
所有非对角的Ricci曲率分量都为零。
于是真空中球对称引力场的求解就归结为解下面的三个自力 方程：
进一步化简获得
等价于
解之获得
这里
为积分常数。当
时，我们应该获得一个平直的时空，以是
.
可以凭证 弱引力场近似算出来，为
.
第三节：水星的克日 点进动和光线的引力偏折A. 水星的轨道
可以把水星简化为一个质点。质点在引力场中运动的轨迹遵照 测地线方程，测地线方程可以用欧拉-拉格朗日方程获得。上一节已经获得球对称引力场的准确 解。仍然沿用上一节的记号，记拉格朗日量为
其中，
,
.
使用 欧拉-拉格朗日方程， 我们可以获得四个方程，为
显然，
是一个解。这个解体现粒子的运动被限制在赤道平面上。这时测地线方程简化为
由于
以是 ，
代入
, 获得
消掉
,
将上面的式子重新写成为
弱引力场极限下，上面的式子可以简化为
若是 令光速为无限 大，则式子简化为
此时广义相对论退化为牛顿引力理论。这时，方程的解为
将上面获得的最低阶近似代入到微分方程的右边，获得
继续化简，
解方程，获得
这个解内里 有一项正比于
.这一项随着角度的增添 可以无限增添 ，在天体力学内里 称作久期项。更多的诠释 在 Section C. Section C 内里 重新求解水星的运动轨道。与这一节差异的是，C 内里 没有用关于
坐标的测地线方程，而是直接从度规归一化条件出发求解。这是通常教科书的解法，跟直接用测地线解出的效果 不完全一样。不知道为什么会这样。
B. 光线的引力偏折
光子的情形 跟水星纷歧样，由于 光子是没有静止质量的。因此，我们不能再用proper time作为参数，而应该选取一个affine参数
. 用这个参数，写出零质量粒子的度规条件为
其中
.
测地线方程为
是一个解。代入到原始方程中去，使用
, 获得
对这个方程求关于
的微分，获得
最低阶近似获得
可以令
, 获得
, 这体现是一条垂直于
轴的直线，直线与坐标原点的距离为
. 这个最低阶近似解可以明确 为若是 光子不受引力影响，那么一束经由 太阳的光将会走一条直线，而
为太阳的半径。将最低阶近似代入到方程的右边，获得一个微分方程为
求解获得包罗了一阶微扰的近似解为
这里的解内里 不含久期项，以是 可以直接从这个解出发去盘算光线的引力偏折。
无量纲化处置赏罚 上面的式子，获得
该函数图像为
太阳在坐标原点。可以看出，一束光从无限 远处传来，经由 太阳周围 时，由于太阳的引力效应，光线的撒播 偏向发生了偏折。光线远离太阳之后，重新沿着一条直线撒播 。入射直线与出射直线之间的夹角就是太阳引力造成的光线的偏折角。由于
,
所对应的两个角度就是入射角度和出射角度。解
,
获得
由于 角度一定是实数，以是
当
,
. 获得
. 两角相差
, 以是 光线没有发生偏折。当
为一个小量（对应了弱引力场）时，
于是入射角度为
, 出射角度为
.
. 于是光线的引力偏折角为
.
这里，
为太阳质量，
为太阳半径。这个效果 用量纲剖析 也很容易获得。
C. 再谈水星的轨道
前面已经用测地线方程算过了水星的轨道，这里用一个更简朴的要领盘算一下水星的轨道。这两种要领盘算获得的水星的轨道应该一样才对。
凭证 前面的内容已经知道，水星在这样的一个度规场中沿着一条测地线运动：
双方 同时除以
, 获得
凭证 欧拉-拉格朗日方程，我们知道这个运动有两个守恒量：
将水星的轨道限制在赤道平面上，就有
. 将这些条件代入到度规归一化条件内里 ，获得
使用
，代入
, 令
, 获得
将上式对
求一次微分，获得一个微分方程
当光速为无限 大的时间 ，方程退化为牛顿理论，即
解得
这是一个关闭的椭圆。以是 若是 牛顿引力理论是准确 建设的，那么若是 不思量 其他大行星的摄动，水星的运行轨道就不会泛起克日 点进动。这个解称作是广义相对论的最低阶近似。为了盘算相对论修正， 将解写作
，代入到原方程获得
解得
这里，微扰解内里 泛起了一项
. 这一项随着角度的增添 会无限制地增添 。在天体力学内里 ，这一项被称作久期项 (secular term). 若是 我们保留了这一项，那么我们可以获得一个很是不行思议的结论，就是随着水星绕太阳圈数的增添 ，水星的轨道会变得越来越希奇 ，直至跟牛顿理论的预言完全差异。可是 天文视察显示，水星的轨道与牛顿理论预言的相差很是小，也就是广义相对论修正应该是一个很是小的效应。以是 微扰解出的久期项是不切合物理的，应该消除。消除久期项有一个要领是Poincaré-Lindstedt method.
为此，我们令
， 然后把原始的微分方程写作
为了可以使用微扰理论，把方程重新写作
令
, 代入到上面的方程，获得
代入
，保留一阶项，获得
系数对应相等，对
，获得微分方程为
解之获得
对
，获得微分方程为
把
代入， 获得
久期项是由方程右边第二项，也就是共振项，发生的。要想消除久期项，只需令共振项为零，也就是令
. 由此解得一阶微扰。以是 准确 到一阶微扰，原始方程的解为
其中，
. 以是 ，当引力场足够微弱的时间 ，水星的轨道为
经由 很大的夸张后，该函数图像如下图所示：
这是一个进动的椭圆。水星每绕太阳运行一周，克日 点就进动了
.
以是 当思量 了相对论修正后，水星的轨道进动就可以被诠释 。
D. 测地线微分方程与度规条件
在推导水星的运行轨道和光线的引力偏折的时间 ，我们可以直接求解四个测地线方程，也可以从测地线方程（确切地说，是从欧拉-拉格朗日方程）中提取出守恒量，然子女入到度规条件内里 求解粒子的轨道。这两种要领应该是等价的。而且，很显着 可以看出来，提取守恒量然子女入度规条件要比直接求解测地线微分方程简朴。这里要证实 这两种要领是等价的，而且要指出度规条件着实 就是对应了能量守恒。
球对称引力场的度规为
拉格朗日量为
欧拉-拉格朗日方程为
凭证 欧拉-拉格朗日方程可以导出测地线方程为
其中黎曼联络系数为
这里，注重 到拉格朗日量不显含
. 于是就可以凭证 欧拉-拉格朗日方程导出雅克比首次积分为
很容易就可以获得
是个守恒量，由于 ，
由于 在这里拉格朗日量是关于
的二次齐次函数，以是 凭证 欧拉的齐次函数定理，我们不必盘算就可以直接写出
于是，雅克比首次积分就是
凭证 前面的结论已经知道
, 以是 这就意味着
. 这就跟度规条件等价了。以是 在盘算粒子轨道的时间 ，我们不必非得直接求解四个耦合的二阶测地线微分方程，由于 这样盘算量显着 太大。我们可以凭证 欧拉-拉格朗日方程找出循环坐标，然子女入到度规条件 (也就是雅克比首次积分) 内里 去，这样获得的微分方程要简朴许多。这就是在充实使用 系统的对称性，由于 对称性意味着守恒量的存在。凭证 经典力学的内容，雅克比首次积分对应着系统的总能量。
只要拉格朗日量内里 不显含
，我们就有雅克比首次积分，这与度规张量详细 的形式无关。设有一个度规场为
对应的拉格朗日量为
.
雅克比首次积分为
. 只要拉格朗日量对于广义速率
是个二次函数，那么凭证 欧拉的齐次函数定理，就一定有这个结论。这与度规张量详细 的形式无关。以是 度规条件本质上就是能量守恒。在物理学中，通过守恒量来解方程比直接求解运动方程要容易。
史瓦西解
第一个获得该方程准确 解的是史瓦西，他在默认引力场是静态球对称的情形 下，使用 含未知数的度规分量表出克氏符及其偏导数，代入真空场方程
中获得二阶常微分方程组，求解得度规分量的详细 表达形式，史瓦西解在球坐标下的详细 形式如下
上面的度规中接纳几何单元制（
)，其中
代表引力源的质量。
使用 上述的度规可以得出引力对时间的影响。
实验磨练水星克日 点进动
1859年，天文学家勒威耶（Le Verrier）发现水星克日 点进动的视察值，比凭证 牛顿定律盘算的理论值每百年快38角秒。他意料 可能在水星以内尚有 一颗小行星，这颗小行星对水星的引力导致两者的误差 。可是经由 多年的搜索，始终没有找到这颗小行星。1882年，纽康姆（S.Newcomb）
经由 重新盘算，得出水星克日 点的多余进动值为每百年43角秒。他提出，有可能是水星因发出黄道光的弥漫物质使水星的运动受到阻力。但这又不能诠释 为什么其他几颗行星也有类似的多余进动。纽康姆于是嫌疑 引力是否听从平方反比定律。厥后尚有 人用电磁理论来诠释 水星克日 点进动的反常征象 ，都未获乐成。
1915年，爱因斯坦凭证 广义相对论把行星的绕日运动看成是它在太阳引力场中的运动，由于太阳的质量造成周围空间发生弯曲，使行星每公转一周克日 点进动为：
其中a为行星轨道的长半轴，c为光速，以cm/s体现，e为偏心率，T为公转周期。对于水星，盘算出ε=43″/百年，正好与纽康姆的效果 相符，一举解决了牛顿引力理论多年未解决的悬案。这个效果 其时成了广义相对论最有力的一个证据。水星是最靠近 太阳的内行星。离中央 天体越近，引力场越强，时空弯曲的曲率就越大。再加上水星运动轨道的偏心率较大，以是 进动的修正值也比其他行星为大。厥后测到的金星，地球和小行星伊卡鲁斯的多余进动跟理论盘算也都基内情 符。
光线在引力场中的弯曲
1911年爱因斯坦在《引力对光撒播 的影响》一文中讨论了光线经由 太阳周围 时由于太阳引力的作用会发生弯曲。他推算出偏角为0.83″，而且指出这一征象 可以在日全食举行 视察。1914年德国天文学家弗劳德（E.F.Freundlich）领队去克里木半岛准备对昔时 八月间的日全食举行 视察，正遇上第一次天下 大战发作，视察未能举行 。幸亏这样，由于 爱因斯坦其时只思量 到等价原理，盘算效果 小了一半。1916年爱因斯坦凭证 完整的广义相对论对光线在引力场中的弯曲重新作了盘算。他不仅思量 到太阳引力的作用，还思量 到太阳质量导致空间几何形变，光线的偏角为：α=1″.75R0/r，其中R0为太阳半径，r为光线到太阳中央 的距离。
1919年日全食时代 ，英国皇家学会和英国皇家天文学会派出了由爱丁顿（A.S.Eddington）等人率领的两支视察队分赴西非几内亚湾的普林西比岛（Principe）和巴西的索布腊儿尔（Sobral）两地视察。经由 较量 ，两地的视察效果 划分为1″.61±0″.30和1″.98±0″.12。把其时测到的偏角数据跟爱因斯坦的理论预期较量 ，基内情 符。这种视察精度太低，而且还会受到其他因素的滋扰。人们一直在找日全食以外的可能。20世纪60年月 生长起来的射电天文学带来了希望。用射电望远镜发现了类星射电源。1974年和1975年对类星体视察的效果 ，理论和视察值的误差 不凌驾百分之一。
光谱线的引力红移
广义相对论指出，在强引力场中时钟要走得慢些，因此从重大 质量的星体外貌发射到地球上的光线，会向光谱的红端移动。爱因斯坦1911年在《引力对光撒播 的影响》一文中就讨论了这个问题。他以Φ体现太阳外貌与地球之间的引力势差，ν0、ν划分体现光线在太阳外貌和到达地球时的频率，得：
（ν0 -ν）/ν=-Φ/c2=2×10－6.
爱因斯坦指出，这一效果 与法布里（C.Fabry）等人的观
行星绕恒星作公转的较量 (1张)
测相符，而法布里其时原来还以为是其它缘故原由 的影响。
1925年，美国威尔逊山天文台的亚当斯（W.S.Adams）视察了天狼星的伴星天狼A。这颗伴星是所谓的白矮星，其密度比铂大二千倍。视察它发出的谱线，获得的频移与广义相对论的预期基内情 符。
1958年，穆斯堡尔效应获得发现。用这个效应可以测到分辨率极高的r射线共振吸收。1959年，庞德（R.V.Pound）和雷布卡（G.Rebka）首先提出了运用穆斯堡尔效应检测引力频移的方案。接着，他们乐成地举行 了实验，获得的效果 与理论值相差约百分之五。
用原子钟测引力频移也能获得很好的效果 。1971年，海菲勒（J.C.Hafele）和凯丁（R.E.Keating）用几台铯原子钟较量 差异高度的计时率，其中有一台置于地面作为参考钟，另外几台由民航机携带登空，在1万米高空沿赤道围绕地球航行。实验效果 与理论预期值在10%内相符。1980年魏索特（R.F.C.Vessot）等人用氢原子钟做实验。他们把氢原子钟用火箭发射至一万公里太空，获得的效果 与理论值相差只有±7×10^-5。
雷达回波延迟
光线经由 大质量物体周围 的弯曲征象 可以看成是一种折射，相当于光速减慢，因此从空间某一点发出的信号，若是 途经太阳周围 ，到达地球的时间将有所延迟。1964年，夏皮罗（I.I.Shapiro）首先提出这个建议。他的小组先后对水星、金星与火星举行 了雷达实验，证实 雷达回波确有延迟征象 。最先 有人用人造天体作为反射靶，实验精度有所改善。这类实验所得效果 与广义相对论理论值较量 ，相差约莫1%。用天文学视察磨练 广义相对论的事例尚有 许多。例如：引力波的视察和双星视察，有关宇宙膨胀的哈勃定律，黑洞的发现，中子星的发现，微波配景辐射的发现等等。通过种种实验磨练 ，广义相对论越来越令人信服。然而，有一点应该特殊 强调：我们可以用一个实验否认某个理论，却不能用有限数目 的实验最终证实 一个理论；一个准确 度并不很高的实验也许就可以推翻某个理论，却无法用准确 度很高的一系列实验最终一定 一个理论。对于广义相对论的是否准确 ，人们必须接纳很是审慎 的态度，严酷 而小心地作出合理的结论。