Antoine Georges和Gabriel Kotliar将Hubbard模子 映射为安德森杂质模子 的想法，让原本对在恣意 关联强度下求解Hubbard模子 无计可施的物理学家们，突然有了一种峰回路转、柳暗花明的感受。像是有人划燃了一只洋火，让我们可以看清晰 在黑漆黑 所处的位置和脚下的路。两人在1991年的事情为动力学平均场搭起了完整的车架和导航系统，缺少的仅仅只是一个更好的引擎。有了它，动力学平均场要领这辆全新设计的汽车就可以愉快 酣畅的行驶了。
这个引擎就是安德森杂质模子 的求解器。与Hubbard模子 相比，求解安德森杂质模子 虽然仍是一个非平庸的问题，可是 难度要小许多。昔时 的Antoine Georges和Gabriel Kotliar接纳的要领是二阶微扰论 [1]，相比于现在使用普遍 的更高级做法，差不多等同于用手推车。即便云云 ，两人已经展示了一个完整动力学平均场盘算所具备的所有 要素。1992年Mark Jarrell使用的求解器就先进多了，但它也存在自身的问题。我们虽然还制造不出一个零排放、无污染、适用于全天候、全地形的完善 引擎，可是 人们从未阻止 对它的研究和优化，在一直 的刷新 中，它逐步 切合了国五、国六的排放尺度。希望看到这个系列的小朋侪 们，可以感受到设计的兴趣 ，通过你们未来的事情让这个引擎越来越完善。
Antoine Georges和Gabriel Kotliar用数学和物理的语言为各人界说了这个引擎的功效和设计原则。这相当于芯片企业设计好了芯片的电路，剩下留给芯片制造企业的只是简朴的流片，使命 简朴而明确。因此种种求解安德森杂质模子 的盘算要领，如雨后春笋般一直 涌现，动力学平均场要领进入到第一个繁荣期。
在这个系列中笔者将简朴先容 几种常用的安德森杂质求解器。先容 的目的不是为了讨论手艺 细节，告诉各人怎样 做动力学平均场的盘算。更多的是从历史生长的角度梳理人们对于求解动力学平均场方程的明确 ，和对多体问题种种差异侧面的思索 。希望读者可以从这个系列里相识 到研究量子多体问题的常见头脑 方式，而不仅仅只局限于动力学平均场理论。在回首这些历史之前，让我们先来睁开 Antoine Georges和Gabriel Kotliar关于动力学平均场的设计图纸：
首先Antoine Georges和Gabriel Kotliar告诉我们，动力学平均场是一个循环系统。就像传统汽车需要输入汽油和空气一样，这里需要输入的是杂质的自能
和动力学系统的色散
关系。我们把自能和色散关系重新组合，组成下场 域的外斯格林函数
，一如汽车要把汽油和空气混淆。接下来就是要害的部门了，汽车通过发念头 把汽油和空气混淆物的化学能转化为机械能输出给汽车作为动力。在动力学平均场中我们需要的引擎会把外斯格林函数
转化成包罗了相互作用信息的格林函数
。然后再通过传动系统Dyson方程，把相互作用格林函数转化成下一次做功需要的自能。
动力学平均场涉及到的几个方程都是简朴代数方程，只有这个引擎是高度非平庸的。所有关于相互作用的信息都是由这个引擎发生的。我们将凭证 相互关系先容 如下几种杂质求解器，着重 设计头脑 和相互的差异。有一点值得强调，由于动力学平均场的无限 维简化，使得相对于传统Hubbard模子 的格点问题而言，我们这里没有了动量自由度。因此，使得我们在动力学平均场里有多余的精神 去思量 局域轨道自由度的影响。而在传统的量子多体模子 里，人们通常由于 问题重大 度的缘故原由 ，仅仅只思量 单轨道问题，然后简朴说一句“该要领/结论可以自然的推广到多轨道/能带情形”。但现实 上这却是一个很是难题 的事情，而多轨道/能带的物理也远较单轨道/能带情形有趣富厚得多。因此，我们这里的先容 会更多的关注多轨道情形。只想知道哪一种要领更适合自己的朋侪 可以直接跳到本文的最后，在那里笔者总结了一个表格，利便 各人审阅。
这里要先容 的第一种杂质求解器是Antoine Georges和Gabriel Kotliar使用的二阶微扰论。学过高等固体理论或者凝聚态量子场论的同砚 一定知道微扰睁开 吧。通过Linked cluster theorem[2] 和拓扑不等价性，Hubbard模子 相互作用睁开 的前两项包罗如下的四个相连的自能图。若是 我们思量 的仅仅只是相反自旋电子间的相互作用，那么所有的Fock图形都消逝 掉，仅剩下Hartree项和二阶项中一个图形。对于单轨道问题，Hartree项仅仅只是提供了一个常数，是对化学势的移动，并不主要 。第一个动力学孝顺 是来自于二阶项。这就是Antoine Georges和Gabriel Kotliar用来近似盘算自能的要领。这是一种很是粗拙的近似，由于 微扰论睁开 需要我们尽可能多的思量 睁开 阶数才准确，因此该要领只适用相互作用较量 弱的情形 ，不能够准确 形貌 Mott相变。但利益是要领简朴，结构清晰，既可以在实频率也可以在虚频率上事情，而且容易扩展到多轨道情形，可以利便 研究真实质料系统 。
为了保持二阶微扰论这样的简朴形式，同时使得盘算出的自能同时在强耦合极限下也是定性合理的，人们大开脑洞，把二阶自能来了个变形，人为引入了两个参数A和B。多出来的两个参数使得人们可以划分拟合强弱两个极限下的自能的定性行为。这样保证了在相互作用的两头 ，这个要领盘算出的自能都是定性准确 的。这种要领被命名为Iterated perturbation theory，简称IPT [3-5]。虽然，若是 你还记得费米转述冯·诺依曼的话“用四个参数我可以拟合出一头大象，而用五个参数我可以让大象的鼻子动起来”，那么就会知道这样拼集 出来的要领是缺乏理论基础的，只是在某些情形 下确实还挺好用而已。IPT同样可以直接事情在实频率空间，能够处置赏罚 多轨道及掺杂情形。可是 由于该要领缺乏确定的理论基础，在差异情形下其行为无法提前判断，需要仔细分辨。
先容 了有两个代表性的弱耦合睁开 ，我们再来先容 两个强耦合睁开 要领。顾名思义，这些要领的起点 是强电子关联极限。前述的弱耦合要领适用于U较小的区间，这里的强耦合要领适用于U很大的区间。这种强耦合睁开 要领以Hubbard-I [6]，non-crossing approximation [7,8]为代表。其中的Hubbard-I无需做任何睁开 ，它着实 就是我们之前在“系列之一”中讲过的伶仃原子近似，它完全忽略了杂质与周围的耦合，用伶仃Hubbard原子的自能取代动力学平均场杂质自能。因此该要领的剖析 结构很是清晰，同时也容易扩展到多轨道情形，可以直接事情在实频率下，是一种很是简朴的要领。主要是用于研究相互作用很强，轨道局域化最严重的f电子系统 ，是许多DFT+DMFT法式包最先接纳的杂质求解器。
港科大的戴希先生 2003年在科学杂志上揭晓 的一篇文章就曾经使用此要领 [9]。在Hubbard-I的基础上，若是 思量 杂质与周围耦合的微扰睁开 ，并将所耦合项不相交的图形求和在一起，就获得了non-crossing approximation[7, 8]。该种要领显然比伶仃Hubbard-I要领要进了一步，包罗了杂质与周围情形 的耦合效应。可是 由于所包罗的图形仍然过少，只适用于高温情形 ，而且扩展到多轨道情形具有较大的难题 ，使用的人也较量 少。
讲了这么多微扰要领，他们各自由于 属性的差异，因而适用的参数规模差异，不能够有用 的研究相互作用的全参数空间。对应于费曼图而言，他们都是各自思量 了所有图形中的一部门，由于 各自建设要领的差异，接纳的图形是纷歧样的。可能有朋侪 要问了，有没有一种措施，能把所有的费曼图都思量 进来，这样的盘算不就是严酷 的了吗？确实存在这样的要领，可是 由于 可想而知的盘算重大 度，这样的要领基本都是数值要领。
好比说1992年Mark Jarrell的事情就是接纳量子蒙特卡洛要领Hirsch-Fye要领 [10]，虽然在该要领里并不直接泛起费曼图，而是将量子问题转化成经典自旋的抽样问题，可是 数值上该要领是严酷 的。这种要领存在的问题在于存在将温度分立化引入赝自旋导致的的盘算误差。同时该要领在向多轨道扩展的时间 也存在较大难题 。相比于Hirsch-Fye要领，2005 A. Rubtsov[11] 和2006年P. Werner[12] 先后提出的两种一连 时间蒙特卡洛要领从基础上消除了温度分立化引入的盘算误差，其中的强耦合睁开 -一连 时间蒙特卡洛要领在处置赏罚 多轨道问题上具有强盛 的优势，现在 已经成为DFT+DMFT重新盘算强关联电子质料的首选杂质求解器。
笔者的挚友黄理先生 开发的iQIST提供了适用于多种差异情形的强耦合睁开 -一连 时间蒙特卡洛法式，接待各人实验 [13]。这两种要领划分等效为前面我们先容 过的弱耦合和强耦合睁开 ，可是 差异于前面微扰论的地方在于，通过蒙特卡洛随机行走可以将所有睁开 图形都所有 包罗在内，因此盘算效果 在数黄理值上是严酷 的。两种要领对系统 尺度和温度具有差异的标度行为，适用于差异情形 下的盘算。这两种要领均可以应用到极低温，通过变分法也可以直接事情在零温。可是 由于是蒙特卡洛要领，其固有的“负符号”问题（即存在几率为负的构型）也存在于动力学平均场的盘算中。通常在多轨道和掺杂情形 下问题显着 。
另外一种数值上严酷 的盘算要领是准确 对角化[14, 15]。它的事情工具是哈密怀抱，这和前面先容 的要领都差异，它们都可以直接处置赏罚 含时作用量。准确 对角化无法直接处置赏罚 动力学外场，因此它是真正需要把问题转化为与周围耦合的安德森杂质模子 的一种要领。准确 对角化的利益在于很是适合处置赏罚 零温情形 ，高温的盘算反而变得重大 禁绝确。可以事情在实频率上，因此可直接提供谱信息，而且能在恣意 掺杂下盘算，不用像蒙特卡洛一样担忧“负符号”问题。可是 准确 对角化在扩展到多轨道时，由于现在 盘算性能处置赏罚 的哈密顿量维度有限，不得不降低其他自由度的个数，因此盘算会变得缓慢且禁绝确。
除了基于费曼图的盘算要领外，尚有 些基于重整化群头脑 的盘算工具。好比数值重整化群 [16, 17] 和密度矩阵重整化群 [18]。前者通常适用于低能，低温情形 。在高能区和多轨道情形有较浩劫度。后者通常被以为 是一维情形 下的严酷 解，处置赏罚 高纬度问题有其自身的缺陷，仍然是该领域正在公关的课题。有少数事情将密度矩阵重整化群推广到多轨道情形[18, 19]，在高能和低能区间都获得与实验切合很好的效果 。该偏向的实验现在 仅限于少数课题组，尚未到达被普遍 认可的水平。数值重整化群和密度矩阵重整化群都是基于哈密怀抱，因此具有和严酷 对角化类似的优弱点 。可以直接处置赏罚 实频率，提供谱信息。
另外，基于slave-particle的想法，人们也开发了许多动力学平均场的杂质求解器。这些要领和微扰论要领类似，利益在于简朴，剖析 结构清晰 ，没有“负符号”问题等。但要领的精度往往因详细 问题而异。现在 较为常用的slave-particle要领包罗slave-boson mean-field [20],slave-rotor [21, 22], slave-spin [23, 24]要领等。在研究多轨道关联质料系统 ，尤其是在弱耦合-中央 耦合区间，例如铁基超导体，这些要领都有不错的体现。
种种盘算要领的开发，一方面富厚了动力学平均场的手段，另一方面也反映出电子强关联问题的难点之处。纵使我们已经有了这么多属性差异的要领，却没有一种是放之四海而皆准，能够应用在任何场景下的。动力学平均场的无限 维简化，消除了人们在动量上的盘算肩负，可是 关联问题的动力学本质并没有改变，问题的重大 度仍然凌驾了剖析 和准确 数值盘算能够到达的水平。可是 ，可喜的是动力学平均场的简化，让我们可以最先 思量 现实 质料中更为富厚的自由度，这里主要是轨道自由度带来的multiplet效应。这在传统量子多体问题中，我们是无暇顾及的。动力学平均场要领因此为我们提供了对诸如Mott转变换为深刻的明确 。在下一个系列中，我们会睁开 聊聊动力学平均场带给我们的如下三个新的启示：
轨道选择Mott转变 (Orbital-Selective Mott Transition)多轨道适当 填充Mott转变 (Multiorbital commensurate-filling Mott transition)自旋轨道耦合系统 中的 Mott态