在网上看到的一篇文章，看了以后感伤颇深。他讲述了线性代数的本质，对线性空间、向量和矩阵做了直觉的形貌 。
线性代数课程，无论你从行列式入手照旧直接从矩阵入手，从一最先 就充斥着莫名其妙。
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好比说，在天下 一样平常 工科院系教学中应用最普遍 的同济线性代数课本 （现在到了第四版），一上来就先容 逆序数这个离奇看法，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的界说，接着是一些简直犯傻的行列式性子 和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个工具有嘛用。
大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么工具都模模糊糊的，就最先 钻火圈演出了，这未免太无厘头了吧！于是最先 有人逃课，更多的人最先 抄作业。这下就中招了，由于 厥后 的生长可以用一句峰回路转来形容，紧随着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头可是 伟大的无以复加的家伙的进场——矩阵来了！多年之后，我才明确 ，当先生 犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，而且不紧不慢地说：“这个工具叫做矩阵”的时间 ，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在险些所有跟“学问”二字稍微沾点边的工具里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来通常 搞得我灰头土脸，头破血流。恒久以来，我在阅读中一见矩阵，就犹如 阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。一样平常 工科学生初学线性代数，通常都市感应难题 。这种情形在海内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“若是 不熟悉线性代数的看法，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。然而“凭证 现行的国际尺度，线性代数是通过正义化来表述的，它是第二代数学模子 ，这就带来了教学上的难题 。”事实上，当我们最先 学习线性代数的时间 ，不知不觉就进入了“第二代数学模子 ”的领域当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次周全 的进化，对于从小一直在“第一代数学模子 ”，即以适用 为导向的、详细 的数学模子 中学习的我们来说，在没有并明确见告的情形 下举行 云云 强烈 的paradigm shift，不感应难题 才是希奇 的。
大部门工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值剖析 、数学妄想 、矩阵论之后，才逐渐能够明确 和熟练运用线性代数。即便云云 ，不少人纵然能够很熟练地以线性代数为工具举行 科研和应用事情，但对于许多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清晰 。好比说：
1、矩阵事实 是什么工具？
2、向量可以被以为 是具有n个相互自力 的性子 （维度）的工具的体现，矩阵又是什么呢？
3、我们若是 以为 矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的睁开 式，那么为什么这种睁开 式具有云云 普遍 的应用？特殊 是，为什么偏偏二维的睁开 式云云 有用？
4、若是 矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再睁开 一次，酿成三维的立方阵，是不是更有用？
5、矩阵的乘规则则事实 为什么这样划定？为什么这样一种怪异的乘规则则却能够在实践中施展 云云 重大 的功效？许多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这岂非 不是很巧妙 的事情？岂非 在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包罗着天下 的某些本质纪律？若是 是的话，这些本质纪律是什么？
6、行列式事实 是一个什么工具？为什么会有云云 怪异的盘算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一样平常 矩阵就没有（不要以为 这个问题很蠢，若是 须要，针对mxn矩阵界说行列式不是做不到的，之以是 不做，是由于 没有这个须要，可是 为什么没有这个须要）？而且，行列式的盘算规则，看上去跟矩阵的任何盘算规则都没有直观的联系，为什么又在许多方面决议 了矩阵的性子 ？岂非 这一切仅是巧合？
7、矩阵为什么可以分块盘算？分块盘算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
8、对于矩阵转置运算AT，有(AB)T=BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1=B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性子 ？这仅仅是巧合吗？
9、为什么说P−1AP获得的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？
10、特征值和特征向量的本质是什么？它们界说就让人很惊讶，由于 Ax=λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不外相当于一个小小的数λ，确实有点巧妙 。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的事实 是什么？
这样的一类问题，经常让使用线性代数已经许多年的人都感应为难。就似乎大人面临 小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面临 这样的问题，许多内行 们最后也只能用：“就是这么划定的，你接受而且记着就好”来搪塞。
然而，这样的问题若是 不能获得回覆，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲原理的、莫名其妙的规则荟萃，我们会感应，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的天下 中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法明确 其中的美妙、协调 与统一。直到多年以后，我们已经觉察这门学问云云 的有用，却仍然会很是疑惑 ：怎么这么凑巧？我以为 这是我们的线性代数教学中直觉性损失 的效果 。上述这些涉及到“怎样 能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证实 往返 覆，是不能令提问者知足 的。好比，若是 你通过一样平常 的证实 要领论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑获得解决。他们真正的疑心 是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？事实 只是凑巧，照旧说这是由矩阵这种工具的某种本质所一定决议 的？若是 是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加思量 ，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依赖 数学证实 所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证实 ，最后作育 出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的明确 。
自从1930年月 法国布尔巴基学派兴起以来，数学的正义化、系统性形貌 已经获得重大 的乐成，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学正义化的一个备受争议的副作用，就是一样平常 数学教育中直觉性的损失 。数学家们似乎以为 直觉性与抽象性是矛盾的，因此绝不犹豫地牺牲掉前者。然而包罗我本人在内的许多人都对此体现嫌疑 ，我们不以为 直觉性与抽象性一定相互矛盾，特殊 是在数学教育中和数学课本 中，资助学生建设直觉，有助于它们明确 那些抽象的看法，进而明确 数学的本质。反之，若是 一味注重形式上的严酷 性，学生就似乎被迫举行 钻火圈演出的小白鼠一样，酿成死板 的规则的仆从 。
对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地重复思索 了四、五次，为此阅读了好几本海内外线性代数、数值剖析 、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、要领和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不外纵然云云 ，我对这个主题的熟悉 也履历 了好一再 自我否认。好比以前思索 的一些结论曾经写在自己的blog里，可是 现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此妄想 把自己现在的有关明确 较量 完整地纪录下来，一方面是由于 我以为 现在的明确 较量 成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人讨教 。另一方面，若是 以后再有进一步的熟悉 ，把现在的明确 给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。
线性空间
今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个焦点看法的明确 。这些工具大部门是凭着自己的明确 写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实诘责 题说出来。
首先说说空间(space)，这个看法是现代数学的命脉 之一，从拓扑空间最先 ，一步步往上加界说，可以形成许多空间。线形空间着实 照旧较量 低级的，若是 在内里 界说了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间知足 完整 性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中界说角度，就有了内积空间，内积空间再知足 完整 性，就获得希尔伯特空间。总之，空间有许多种。你要是去看某种空间的数学界说，大致都是：存在一个荟萃，在这个荟萃上界说某某看法，然后知足 某些性子 ，就可以被称为空间。这未免有点希奇 ，为什么要用“空间”来称谓一些这样的荟萃呢？各人将会看到，着实 这是很有原理的。我们一样平常 人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生涯 在其中的（凭证 牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点，然后再把我们生涯 的这个三维空间推广到其他空间。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：
1.由许多（现实 上是无限 多个）位置点组成；
2.这些点之间存在相对的关系；
3.可以在空间中界说长度、角度；
4.这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“一连 ”性的运动。
上面的这些性子 中，最最要害的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性子 ，通常讨论数学问题，都得有一个荟萃，大多数还得在这个荟萃上界说一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是要害的性子 。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。熟悉 到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的熟悉 扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的切合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，好比拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，着实 这些变换都只不外是对应空间中允许的运动形式而已。 因此只要知道，“空间”是容纳运动的工具的荟萃，而变换则划定了对应空间的运动。下面我们来看看线性空间。线性空间的界说任何一本书上都有，可是 既然我们认可线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先获得解决，那就是：
1.空间是一个工具荟萃，线性空间也是空间，以是 也是一个工具荟萃（一个荟萃）。那么线性空间是什么样的工具的荟萃？或者说，线性空间中的工具有什么配合点吗？
2.线性空间中的运动怎样 表述的？也就是，线性变换是怎样 体现的？
我们先往返 覆第一个问题，回覆这个问题的时间 着实 是不用血口喷人 的，可以直截了当的给出谜底 ：线性空间中的任何一个工具，通过选取基和坐标的措施，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么通俗 的例子：
1、L1是最高次项不大于n次的多项式的全体组成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个工具是一个多项式。若是 我们以x0,x1,...,xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai着实 就是多项式中xi−1项的系数。值得说明的是，基的选取有多种措施，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的看法了，以是 这里先不说，提一下而已。
2、L2是闭区间[a, b]上的n阶一连 可微函数的全体，组成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个工具是一个一连 函数。对于其中任何一个一连 函数，凭证 魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该一连 函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。
以是 说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以体现线性空间里任何一个工具。这里头大有文章，由于 向量外貌上只是一列数，可是 着实 由于它的有序性，以是 除了这些数自己携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在法式设计中数组最简朴，却又威力无限 呢？基础缘故原由 就在于此。
这是另一个问题了，这里就不说了。
下面往返 覆第二个问题，这个问题的回覆会涉及到线性代数的一个最基础的问题。线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到恣意 的另外一个点，都可以通过一个线性转变 来完成。那么，线性变换怎样 体现呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来形貌 空间中的任何一个工具，而且可以用矩阵来形貌 该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个工具发生对应运动的要领，就是用代表谁人 运动的矩阵，乘以代表谁人 工具的向量。简而言之，在线性空间中选定基之后，向量描绘 工具，矩阵描绘 工具的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。是的，矩阵的本质是运动的形貌 。
若是 以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的形貌 。
可是何等有意思啊，向量自己不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这着实 是很巧妙 ，一个空间中的工具和运动竟然可以用相类同的方式体现。能说这是巧合吗？若是 是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数巧妙 的性子 ，均与这个巧合有直接的关系。
接着明确 矩阵，上面说“矩阵是运动的形貌 ”，到现在为止，似乎各人都还没什么意见。可是 我信托 早晚会有数学系身世的网友来拍板转。由于 运动这个看法，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时间 ，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。各生齿 口相传，差不多人人都知道这句话。可是 真知道这句话说的是什么意思的人，似乎也不多。
由于 这篇文章不是讲微积分的，以是 我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部门，才明确 “高等数学是研究运动的数学”这句话的原理。不外在我这个《明确 矩阵》的文章里，“运动”的看法不是微积分中的一连 性的运动，而是瞬间发生的转变 。好比这个时刻在A点，经由 一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经由 A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们一样平常 的履历 的。不外相识 一点量子物理知识的人，就会连忙 指出，量子（例如电子）在差异的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。以是 说，自然界中并不是没有这种运动征象 ，只不外宏观上我们视察不到。可是 不管怎么说，“运动”这个词用在这里，照旧容易发生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：“矩阵是线性空间里跃迁的形貌 ”。可是这样说又太物理，也就是说太详细 ，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来形貌 这个事情。这样一说，各人就应该明确 了，所谓变换，着实 就是空间里从一个点（元素/工具）到另一个点（元素/工具）的跃迁。好比说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。
附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做盘算机图形学的朋侪 都知道，只管 形貌 一个三维工具只需要三维向量，但所有的盘算机图形学变换矩阵都是4x4的。说其缘故原由 ，许多书上都写着“为了使用中利便 ”，这在我看来简直就是妄想 蒙混过关。真正的缘故原由 ，是由于 在盘算机图形学里应用的图形变换，现实 上是在仿射空间而不是向量空间中举行 的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的谁人 向量，而现实天下 等长的两个平行线段虽然不能被以为 统一 个工具，以是 盘算机图形学的生涯 空间现实 上是仿射空间。而仿射变换的矩阵体现基础就是4x4的。有兴趣的读者可以去看《盘算机图形学——几何工具算法详解》。
线性空间中的线性变换一旦我们明确 了“变换”这个看法，矩阵的界说就酿成：矩阵是线性空间里的变换的形貌 。到这里为止，我们终于获得了一个看上去较量 数学的界说。不外还要多说几句。课本 上一样平常 是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以体现为矩阵。因此我们还要说清晰 到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的界说是很简朴的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中央 任何两个不相同的工具x和y，以及恣意 实数a和b，有：T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，那么就称T为线性变换。界说都是这么写的，可是 光看界说还得不到直觉的明确 。线性变换事实 是一种什么样的变换？我们适才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到统一 个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的工具，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来形貌 。而你用一个非奇异矩阵去形貌 的一个变换，一定是一个线性变换。
有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情形 怎么样？这个提及 来就会较量 冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，而且讨论其映射性子 ，以及线性变换的核与像等看法才气彻底讲清晰 。
以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在统一 个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵（非方矩阵似乎可以跨线性空间变换？），而且是非奇异方阵。
学习一门学问，最主要 的是掌握主干内容，迅速建设对于这门学问的整体看法，不必一最先 就思量 所有的细枝小节 和特殊情形 ，自乱阵脚。
什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注重 是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。
这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。好，最后我们把矩阵的界说完善如下：“矩阵是线性空间中的线性变换的一个形貌 。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以形貌 。”明确 这句话的要害，在于把“线性变换”与“线性变换的一个形貌 ”区别开。一个是谁人 工具，一个是对谁人 工具的表述。就似乎我们熟悉的面向工具编程中，一个工具可以有多个引用，每个引用可以叫差异的名字，但都是指的统一 个工具。若是 还不形象，那就爽性来个很俗的类比。好比有一头猪，你妄想 给它照相 片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。
这个照片可以看成是这头猪的一个形貌 ，但只是一个片面的的形貌 ，由于 换一个镜头位置给这头猪照相 ，能获得一张差异的照片，也是这头猪的另一个片面的形貌 。
所有这样照出来的照片都是这统一 头猪的形貌 ，可是 又都不是这头猪自己。同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来形貌 这个线性变换。换一组基，就获得一个差异的矩阵。所有这些矩阵都是这统一 个线性变换的形貌 ，但又都不是线性变换自己。
可是 这样的话，问题就来了若是 你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是统一 头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是形貌 的统一 个线性变换呢？若是 是统一 个线性变换的差异的矩阵形貌 ，那就是本家兄弟了，晤面不熟悉 ，岂不成了笑话。幸亏，我们可以找到统一 个线性变换的矩阵兄弟们的一个性子 ，那就是：若矩阵A与B是统一 个线性变换的两个差异的形貌 （之以是 会差异，是由于 选定了差异的基，也就是选定了差异的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间知足 这样的关系：A=P−1BP。线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的界说。没错，所谓相似矩阵，就是统一 个线性变换的差异的形貌 矩阵。凭证 这个界说，统一 头猪的差异角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不外能让人明确 。而在上面式子里谁人 矩阵P，着实 就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。
关于这个结论，可以用一种很是直觉的要领来证实 （而不是一样平常 教科书上那种形式上的证实 ），若是 有时间的话，我以后在blog里增补这个证实 。这个发现太主要 了。原来一族相似矩阵都是统一 个线性变换的形貌 啊！难怪这么主要 ！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵剖析 等课程，其中讲了种种各样的相似变换，好比什么相似尺度型，对角化之类的内容，都要求变换以后获得的谁人 矩阵与先前的谁人 矩阵式相似的，为什么这么要求？由于 只有这样要求，才气保证变换前后的两个矩阵是形貌 统一 个线性变换的。
首先来总结一下前面部门的一些主要结论：
1.首先有空间，空间可以容纳工具运动的。一种空间对应一类工具。
2.有一种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量工具运动的。
3.运动是瞬时的，因此也被称为变换。
4.矩阵是线性空间中运动（变换）的形貌 。
5.矩阵与向量相乘，就是实验 运动（变换）的历程。
6.统一 个变换，在差异的坐标系下体现为差异的矩阵，可是 它们的本质是一样的，以是 本征值（特征值）相同。
基虽然，统一 个线性变换的差异矩阵形貌 ，从现实 运算性子 来看并不是不分好环的。有些形貌 矩阵就比其他的矩阵性子 好得多。这很容易明确 ，统一 头猪的照片也有
妍媸 之分嘛。以是 矩阵的相似变换可以把一个较量 丑的矩阵酿成一个较量 美的矩阵，而保证这两个矩阵都是形貌 了统一 个线性变换。这样一来，矩阵作为线性变换形貌 的一面，基本上说清晰 了。可是 ，事情没有那么简朴，或者说，线性代数尚有 比这更巧妙 的性子 ，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的形貌 ，而且可以作为一组基的形貌 。而作为变换的矩阵，不光可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的玄妙，就蕴含在其中。明确 了这些内容，线性代数里许多定理和规则会变得越发清晰、直觉。
下面让我们把视力集中到一点以改变我们以往看待矩阵的方式。我们知道，线性空间里的基本工具是向量。
向量是这么体现的：[a1,a2,a3,...,an]。矩阵是这么体现的：a11,a12,a13,...,a1n,a21,a22,a23,...,a2n,...,an1,an2,an3,...,ann
不用太智慧，我们就能看出来，矩阵是一组向量组成的。特此外，n维线性空间里的方阵是由n个n维向量组成的。我们在这里只讨论这个n阶的、非奇异的方阵，由于 明确 它就是明确 矩阵的要害，它才是一样平常 情形 ，而其他矩阵都是意外，都是不得差池付的厌恶 状态 ，大可以放在一边。
这里多一句嘴，学习工具要捉住 主流，不要纠缠于旁支小节 。很惋惜 我们的课本 课本大多数都是把主线隐藏 在细节中的，搞得各人还没明确 怎么回事就先被灌晕了。好比数学剖析 ，显着 最要紧的看法是说，一个工具可以表达为无限 多个合理选择的工具的线性和，这个看法是贯串始终的，也是数学剖析 的英华 。可是 课本里自始至终不讲这句话，横竖就是让你做吉米多维奇，掌握一大堆解偏题的技巧，记着种种特殊情形 ，两类中止 点，怪异的可微和可积条件（谁还记得柯西条件、迪里赫莱条件...？），最后考试一过，一切忘光光。要我说，还不如重复强调这一个事情，把它深深刻在脑子里，此外工具忘了就忘了，真遇到 问题了，再查数学手册嘛，何须因小失大呢？言归正传，若是 一组向量是相互线性无关的话，那么它们就可以成为怀抱这个线性空间的一组基，从而事实上成为一个坐标系系统 ，其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，而且成为那根坐标轴上的基本怀抱单元（长度1）。现在到了要害的一步。看上去矩阵就是由一组向量组成的，而且若是 矩阵非奇异的话（我说了，只思量 这种情形 ），那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了，也就可以成为怀抱线性空间的一个坐标系。结论：矩阵形貌 了一个坐标系。“慢着！”，你嚷嚷起来了，“你这个骗子！你不是说过，矩阵就是运动吗？怎么这会矩阵又是坐标系了？”嗯，以是 我说到了要害的一步。我并没有骗人，之以是 矩阵又是运动，又是坐标系，那是由于 ——“运动等价于坐标系变换”。对不起，这话着实 禁绝确，我只是想让你印象深刻。准确的说法是：“工具的变换等价于坐标系的变换”。或者：“牢靠 坐标系下一个工具的变换等价于牢靠 工具所处的坐标系变换。”说白了就是：“运动是相对的。”
让我们想想，告竣统一 个变换的效果 ，好比把点(1,1)变到点(2,3)去，你可以有两种做法。第一，坐标系不动，点动，把(1,1)点挪到(2,3)去。第二，点不动，变坐标系，让x轴的怀抱（单元向量）酿成原来的1/2，让y轴的怀抱（单元向量）酿成原先的1/3，这样点照旧谁人 点，可是点的坐标就酿成(2,3)了。方式差异，效果 一样。从第一个方式来看，那就是把矩阵看成是运动形貌 ，矩阵与向量相乘就是使向量（点）运动的历程。在这个方式下，Ma=b的意思是：“向量a经由 矩阵M所形貌 的变换，酿成了向量b。”而从第二个方式来看，矩阵M形貌 了一个坐标系，暂时 也称之为M。那么：Ma=b的意思是：“有一个向量，它在坐标系M的怀抱下获得的怀抱效果 向量为a，那么它在坐标系I的怀抱下，这个向量的怀抱效果 是b。”这里的I是指单元矩阵，就是主对角线是1，其他为零的矩阵。而这两个方式本质上是等价的。我希望你务必明确 这一点，由于 这是本篇的要害。正由于 是要害，以是 我得再诠释 一下。在M为坐标系的意义下，若是 把M放在一个向量a的前面，形成Ma的样式，我们可以以为 这是对向量a的一个情形 声明。它相当于是说：“注重 了！这里有一个向量，它在坐标系M中怀抱，获得的怀抱效果 可以表达为a。可是它在此外坐标系里怀抱的话，就会获得差异的效果 。为了明确，我把M放在前面，让你明确 ，这是该向量在坐标系M中怀抱的效果 。”
那么我们再看孤零零的向量b：b多看几遍，你没看出来吗？它着实 不是b，它是：Ib也就是说：“在单元坐标系，也就是我们通常说的直角坐标系I中，有一个向量，怀抱的效果 是b。”而Ma=Ib的意思就是说：“在M坐标系里量出来的向量a，跟在I坐标系里量出来的向量b，着实 基础就是一个向量啊！”这那里 是什么乘法盘算，基础就是身份识别嘛。
从这个意义上我们重新明确 一下向量。向量这个工具客观存在，可是 要把它体现出来，就要把它放在一个坐标系中去怀抱它，然后把怀抱的效果 （向量在各个坐标轴上的投影值）按一定顺序列在一起，就成了我们平时所见的向量体现形式。你选择的坐标系（基）差异，得出来的向量的体现就差异。向量照旧谁人 向量，选择的坐标系差异，其体现方式就差异。因此，按原理来说，每写出一个向量的体现，都应该声明一下这个体现是在哪个坐标系中怀抱出来的。体现的方式，就是Ma，也就是说，有一个向量，在M矩阵体现的坐标系中怀抱出来的效果 为a。我们平时说一个向量是[2 3 5 7]T，隐含着是说，这个向量在 I 坐标系中的怀抱效果 是[2 3 5 7]T，因此，这个形式反而是一种简化了的特殊情形 。
注重 到，M矩阵体现出来的谁人 坐标系，由一组基组成，而那组基也是由向量组成的，同样存在这组向量是在哪个坐标系下怀抱而成的问题。也就是说，表述一个矩阵的一样平常 要领，也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓M，着实 是 IM，也就是说，M中那组基的怀抱是在 I 坐标系中得出的。从这个视角来看，M×N也不是什么矩阵乘法了，而是声明晰 一个在M坐标系中量出的另一个坐标系N，其中M自己是在I坐标系中怀抱出来的。回过头来说变换的问题。我适才说，“牢靠 坐标系下一个工具的变换等价于牢靠 工具所处的坐标系变换”，谁人 “牢靠 工具”我们找到了，就是谁人 向量。可是 坐标系的变换呢？我怎么没望见 ？请看：Ma = Ib 我现在要变M为I，怎么变？对了，再前面乘以个M-1，也就是M的逆矩阵。换句话说，你不是有一个坐标系M吗，现在我让它乘以个M-1，酿成I，这样一来的话，原来M坐标系中的a在I中一量，就获得b了。我建议你此时现在拿起纸笔，画绘图，求得对这件事情的明确 。好比，你画一个坐标系，x轴上的权衡单元是2，y轴上的权衡单元是3，在这样一个坐标系里，坐标为(1，1)的那一点，现实 上就是笛卡尔坐标系里的点(2, 3)。而让它真相 毕露的措施，就是把原来谁人 坐标系:2 00 3的x偏向怀抱缩小为原来的1/2，而y偏向怀抱缩小为原来的1/3，这样一来坐标系就酿成单元坐标系I了。保持点稳固 ，谁人 向量现在就酿成了(2, 3)了。怎么能够让“x偏向怀抱缩小为原来的1/2，而y偏向怀抱缩小为原来的1/3”呢？就是让原坐标系：2 00 3被矩阵：1/2 00 1/3左乘。而这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
下面我们得出一个主要 的结论：“对坐标系施加变换的要领，就是让体现谁人 坐标系的矩阵与体现谁人 转变 的矩阵相乘。”
再一次的，矩阵的乘法酿成了运动的施加。只不外，被施加运动的不再是向量，而是另一个坐标系。
若是 你以为 你还搞得清晰 ，请再想一下适才已经提到的结论，矩阵MxN，一方面批注 坐标系N在运动M下的变换效果 ，另一方面，把M当成N的前缀，当成N的情形 形貌 ，那么就是说，在M坐标系怀抱下，有另一个坐标系N。这个坐标系N若是 放在I坐标系中怀抱，其效果 为坐标系MxN。
在这里，我现实 上已经回覆了一样平常 人在学习线性代数是最疑心 的一个问题，那就是为什么矩阵的乘法要划定成这样。简朴地说，是由于 ：
1. 从变换的看法看，对坐标系N施加M变换，就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。
2. 从坐标系的看法看，在M坐标系中体现为N的另一个坐标系，这也归结为，对N坐标系基的每一个向量，把它在I坐标系中的坐标找出来，然后汇成一个新的矩阵。
3. 至于矩阵乘以向量为什么要那样划定，那是由于 一个在M中怀抱为a的向量，若是 想要恢复在I中的真像，就必须划分与M中的每一个向量举行 內积运算。我把这个结论的推导留给感兴趣的朋侪 吧。应该说，着实 到了这一步，已经很容易了。
综合以上1/2/3，矩阵的乘法就得那么划定，一切有根有据，绝不是哪个神经病妙想天开出来的。
我已经无法说得更多了。矩阵又是坐标系，又是变换。到底是坐标系，照旧变换，已经说不清晰 了，运动与实体在这里统一了，物质与意识的界线 已经消逝 了，一切归于无法言说，无法界说了。道可道，很是道，名可名，很是名。矩阵是在是不行道之道，不行名之名的工具。到了这个时间 ，我们不得不认可，我们伟大的线性代数课本上说的矩阵界说，是无比准确 的：“矩阵就是由m行n列数放在一起组成的数学工具。”
矩阵A
[a 11 ,a 12 ][a 21 ,a 22 ]
事实上由两个向量[a 11 ,a 21 ] T 和[a 12 ,a 22 ] T （这里的向量都是列向量）组成，它形貌 了一个平面（仿射）坐标系。换句话说，这两个向量着实 是这个坐标系的两个基，而运算y=Ax 则是告诉我们，在A 这个坐标系下的x向量，在I 坐标系下是怎样的。这里的I 坐标系就是我们最常用的直角坐标系，也就是说，任何向量（包罗矩阵里边的向量），只要它前面没有矩阵作用于它，那么它都是在直角坐标系下怀抱出来的。（事实上，单元矩阵I是默认的直角坐标系，这一说法并非总是建设的，可是 我们现在追求 直观的明确 方式，我们就用最简朴的工具来实验 。）
太多的文字未必能够把问题说清晰 ，我们需要一张图来诠释 一下：
图上所用的矩阵A是[3,2][1,3]
这组成了一个仿射坐标系，在这个坐标系下，有一个向量x=[2,2] T ，它在直角坐标系下测得的坐标为[10,8] T ，现在我们不难发现，直接用矩阵乘法来盘算，有
Ax=[3*2+2*2,1*2+3*2] T =[10,8] T正是我们所期待的，一个向量被它所在的坐标系左乘获得的就是这个向量在I坐标系下的体现形式。
为什么会有这样的特点？着实 这源于我们对矩阵乘法的界说，反过来，若是 我们用这样的几何方式来界说矩阵乘法，那么我们也将获得在书籍 上相识 到的矩阵乘法盘算公式。更高阶的矩阵也可以作同样的类比。推导历程只是一道很简朴的训练 题，读者不妨自己动笔实验一下？
现在我们又回到孟岩文章上的说法了，对于矩阵作用于一个向量（对应的一个点），我们既可以看作点没有变，只不外是坐标系从直角坐标系变换为仿射坐标系而已；另一方面，我们也可以看做矩阵把直角坐标系的一个A'点“运动”（变换）到了A点。这两种说法都行，正如孟岩所说的“运动是相对的”。更准确 地讲，两种说法都要同时被提及，才算是最好的明确 。矩阵是一个点到另外一个点的变换，变换的方式就是坐标系的变换。
虽然，上面只讨论了矩阵乘以向量的乘法，那么矩阵乘以矩阵呢？好比AB ，我们就可以看作是矩阵B 给出了一个坐标系，可是 这个坐标系的各个分量是在A 坐标系下丈量获得的，而A 是在直角坐标系下丈量获得的，以是 要把B 的各个分量（列向量）与矩阵A作乘法后，才获得了这个仿射坐标系在直角坐标系下的“像”。这很直接地导致了矩阵乘以矩阵的盘算公式，也很显然地回覆了“为什么n阶方阵只有与n阶方阵相乘才有意义”，由于 两者要在统一 空间中丈量，才气够完整而唯一地把丈量值确定下来。正如，在n+1维的空间中讨论n个n维向量是没有意义的，由于 在n+1维空间中的视察者看来，它们只不外是一个“面”，多出的一个维度可以随意转变 ；在n维空间中讨论n+1维向量就更没有意义了，由于 维度基础就不够用。
有了这个直观的几何意义，许多问题看起来险些都是显然的了，好比那些行列式问题，尚有 相似矩阵等等，这将在下回谈到。
张量先容我们已经或许相识 到，数字的有序组合发生了向量，向量的有序组合发生了矩阵。这样两个新结构出来的工具，作用一个比一个大。那么有人会遐想 到：矩阵的有序组合，就可以发生一个“立方阵”，它的功效会不会越发强盛 ？更一样平常 的，n维立方阵呢？这种遐想 是有原理的，数学上也有这样的研究工具，它就是张量。
最通俗的说法，n阶张量就是一个n维立方阵，以是 0阶张量就对应一个数，向量、矩阵划分对应1阶和2阶张量，我们所说的三维立方阵，就是3阶张量啦。虽然，张量属于很高深的数学理论，它的性子 和作用不行能这么简朴就说清晰 了。追念昔时 ，爱因斯坦就是用张量剖析 作为工具，建设起他那伟大的广义相对论的。若是 有时机的话，我们一定会重新造访它。