2020数学一考试纲要
考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计
考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为150分，考试时间为180分钟．
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试．
三、试卷内容结构
高等教学 约56%
线性代数 约22%
概率论与数理统计 约22%
四、试卷题型结构
单选题 8小题，每小题4分，共32分
填空题 6小题，每小题4分，共24分
解答题（包罗证实 题） 9小题，共94分
高等数学
一、函数、极限、一连
考试内容
函数的看法及体现法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性子 及其图形 初等函数 函数关系的建设
数列极限与函数极限的界说及其性子 函数的左极限和右极限 无限 小量和无限 大量的看法及其关系 无限 小量的性子 及无限 小量的较量 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个主要 极限：
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函数一连 的看法 函数中止 点的类型 初等函数的一连 性 闭区间上一连 函数的性子
考试要求
1．明确 函数的看法，掌握函数的体现法，会建设应用问题的函数关系．
2．相识 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．明确 复合函数及分段函数的看法，相识 反函数及隐函数的看法．
4．掌握基本初等函数的性子 及其图形，相识 初等函数的看法．
5．明确 极限的看法，明确 函数左极限与右极限的看法以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．
6．掌握极限的性子 及四则运算规则．
7．掌握极限存在的两个准则，并会使用 它们求极限，掌握使用 两个主要 极限求极限的要领．
8．明确 无限 小量、无限 大量的看法，掌握无限 小量的较量 要领，会用等价无限 小量求极限．
9．明确 函数一连 性的看法（含左一连 与右一连 ），会判别函数中止 点的类型．
10．相识 一连 函数的性子 和初等函数的一连 性，明确 闭区间上一连 函数的性子 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性子 ．
二、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的看法 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与一连 性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的稳固 性 微分中值定理 洛必达（L’Hospital）规则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的看法 曲率圆与曲率半径
考试要求
1．明确 导数和微分的看法，明确 导数与微分的关系，明确 导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，相识 导数的物理意义，会用导数形貌 一些物理量，明确 函数的可导性与一连 性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算规则和复合函数的求导规则，掌握基本初等函数的导数公式．相识 微分的四则运算规则和一阶微分形式的稳固 性，会求函数的微分．
3．相识 高阶导数的看法，会求简朴函数的高阶导数．
4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．
5．明确 并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，相识 并会用柯西（Cauchy）中值定理．
6．掌握用洛必达规则求未定式极限的要领．
7．明确 函数的极值看法，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的要领，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．
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9．相识 曲率、曲率圆与曲率半径的看法，会盘算曲率和曲率半径．
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的看法 不定积分的基天性子 基本积分公式 定积分的看法和基天性子 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简朴无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用
考试要求
1．明确 原函数的看法，明确 不定积分和定积分的看法．
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性子 及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．
3．会求有理函数、三角函数有理式和简朴无理函数的积分．
4．明确 积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．
5．相识 反常积分的看法，会盘算反常积分．
6．掌握用定积分表达和盘算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．
四、向量代数和空间剖析 几何
考试内容
向量的看法 向量的线性运算 向量的数目 积和向量积 向量的混淆积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单元向量 偏向数与偏向余弦 曲面方程和空间曲线方程的看法 平面方程 直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一样平常 方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
考试要求
1．明确 空间直角坐标系，明确 向量的看法及其体现．
2．掌握向量的运算（线性运算、数目 积、向量积、混淆积），相识 两个向量垂直、平行的条件．
3．明确 单元向量、偏向数与偏向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式举行 向量运算的要领．
4．掌握平面方程和直线方程及其求法．
5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会使用 平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题．
6．会求点到直线以及点到平面的距离．
7．相识 曲面方程和空间曲线方程的看法．
8．相识 常用二次曲面的方程及其图形，会求简朴的柱面和旋转曲面的方程．
9．相识 空间曲线的参数方程和一样平常 方程．相识 空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程．
五、多元函数微分学
考试内容
多元函数的看法 二元函数的几何意义 二元函数的极限与一连 的看法 有界闭区域上多元一连 函数的性子 多元函数的偏导数和全微分 全微分存在的须要条件和充实条件
多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 偏向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简朴应用
考试要求
1．明确 多元函数的看法，明确 二元函数的几何意义．
2．相识 二元函数的极限与一连 的看法以及有界闭区域上一连 函数的性子 ．
3．明确 多元函数偏导数和全微分的看法，会叱责 微分，相识 全微分存在的须要条件和充实条件，相识 全微分形式的稳固 性．
4．明确 偏向导数与梯度的看法，并掌握其盘算要领．
5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．
6．相识 隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．
7．相识 空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的看法，会求它们的方程．
8．相识 二元函数的二阶泰勒公式．
9．明确 多元函数极值和条件极值的看法，掌握多元函数极值存在的须要条件，相识 二元函数极值存在的充实条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简朴多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简朴的应用问题．
六、多元函数积分学
考试内容
二重积分与三重积分的看法、性子 、盘算和应用 两类曲线积分的看法、性子 及盘算 两类曲线积分的关系 格林（Green）公式 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两类曲面积分的看法、性子 及盘算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（Stokes）公式 散度、旋度的看法及盘算 曲线积分和曲面积分的应用
考试要求
1．明确 二重积分、三重积分的看法，相识 重积分的性子 ，，相识 二重积分的中值定理．
2．掌握二重积分的盘算要领（直角坐标、极坐标），会盘算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．
3．明确 两类曲线积分的看法，相识 两类曲线积分的性子 及两类曲线积分的关系．
4．掌握盘算两类曲线积分的要领．
5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数．
6．相识 两类曲面积分的看法、性子 及两类曲面积分的关系，掌握盘算两类曲面积分的要领，掌握用高斯公式盘算曲面积分的要领，并会用斯托克斯公式盘算曲线积分．
7．了驱逐 度与旋度的看法，并会盘算．
8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）．
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考试要求
1．明确 常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的看法，掌握级数的基天性子 及收敛的须要条件．
2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件．
3．掌握正项级数收敛性的较量 判别法和比值判别法，会用根值判别法．
4．掌握交织级数的莱布尼茨判别法．
5．相识 恣意 项级数绝对收敛与条件收敛的看法以及绝对收敛与收敛的关系．
6．相识 函数项级数的收敛域及和函数的看法．
7．明确 幂级数收敛半径的看法，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．
8．相识 幂级数在其收敛区间内的基天性子 （和函数的一连 性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．
9．相识 函数睁开 为泰勒级数的充实须要条件．
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6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．
7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．
8．会解欧拉方程．
9．会用微分方程解决一些简朴的应用问题．
线性代数
一、行列式
考试内容
行列式的看法和基天性子 行列式按行（列）睁开 定理
考试要求
1．相识 行列式的看法，掌握行列式的性子 ．
2．会应用行列式的性子 和行列式按行（列）睁开 定理盘算行列式．
二、矩阵
考试内容
矩阵的看法 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的看法和性子 矩阵可逆的充实须要条件 陪同矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算
考试要求
1．明确 矩阵的看法，相识 单元矩阵、数目 矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和阻挡称矩阵以及它们的性子 ．
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算纪律，相识 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性子 ．
3．明确 逆矩阵的看法，掌握逆矩阵的性子 以及矩阵可逆的充实须要条件，明确 陪同矩阵的看法，会用陪同矩阵求逆矩阵．
4．明确 矩阵初等变换的看法，相识 初等矩阵的性子 和矩阵等价的看法，明确 矩阵的秩的看法，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的要领．
5．相识 分块矩阵及其运算．
三、向量
考试内容
向量的看法 向量的线性组合与线性体现 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关看法 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化要领 规范正交基 正交矩阵及其性子
考试要求
1．明确 n维向量、向量的线性组合与线性体现的看法．
2．明确 向量组线性相关、线性无关的看法，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性子 及判别法．
3．明确 向量组的极大线性无关组和向量组的秩的看法，会求向量组的极大线性无关组及秩．
4．明确 向量组等价的看法，明确 矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．
5．相识 n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等看法．
6．相识 基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．
7．相识 内积的看法，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）要领．
8．相识 规范正交基、正交矩阵的看法以及它们的性子 ．
四、线性方程组
考试内容
线性方程组的克拉默（Cramer）规则 齐次线性方程组有非零解的充实须要条件 非齐次线性方程组有解的充实须要条件 线性方程组解的性子 息争的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解
考试要求
1．会用克拉默规则．
2．明确 齐次线性方程组有非零解的充实须要条件及非齐次线性方程组有解的充实须要条件．
3．明确 齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的看法，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．
4．明确 非齐次线性方程组解的结构及通解的看法．
5．掌握用初等行变换求解线性方程组的要领．
五、矩阵的特征值和特征向量
考试内容
矩阵的特征值和特征向量的看法、性子 相似变换、相似矩阵的看法及性子 矩阵可相似对角化的充实须要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
考试要求
1．明确 矩阵的特征值和特征向量的看法及性子 ，会求矩阵的特征值和特征向量．
2．明确 相似矩阵的看法、性子 及矩阵可相似对角化的充实须要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的要领．
3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性子 ．
六、二次型
考试内容
二次型及其矩阵体现 条约变换与条约矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的尺度形和规范形 用正交变换和配要领化二次型为尺度形 二次型及其矩阵的正定性
考试要求
1．掌握二次型及其矩阵体现，相识 二次型秩的看法，相识 条约变换与条约矩阵的看法，相识 二次型的尺度形、规范形的看法以及惯性定理．
2．掌握用正交变换化二次型为尺度形的要领，会用配要领化二次型为尺度形．
3．明确 正定二次型、正定矩阵的看法，并掌握其判别法.
概率论与数理统计
一、随机事务 和概率
考试内容
随机事务 与样本空间 事务 的关系与运算 完整 事务 组 概率的看法 概率的基天性子 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事务 的自力 性 自力 重复试验
考试要求
1．相识 样本空间（基本事务 空间）的看法，明确 随机事务 的看法，掌握事务 的关系及运算．
2．明确 概率、条件概率的看法，掌握概率的基天性子 ，会盘算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式．
3．明确 事务 自力 性的看法，掌握用事务 自力 性举行 概率盘算；明确 自力 重复试验的看法，掌握盘算有关事务 概率的要领．
二、随机变量及其漫衍
考试内容
随机变量 随机变量漫衍函数的看法及其性子 离散型随机变量的概率漫衍 一连 型随机变量的概率密度 常见随机变量的漫衍 随机变量函数的漫衍
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三、多维随机变量及其漫衍
考试内容
多维随机变量及其漫衍 二维离散型随机变量的概率漫衍、边缘漫衍和条件漫衍 二维一连 型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的自力 性和不相关性 常用二维随机变量的漫衍 两个及两个以上随机变量简朴函数的漫衍
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四、随机变量的数字特征
考试内容
随机变量的数学期望（均值）、方差、尺度差及其性子 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性子
考试要求
1．明确 随机变量数字特征（数学期望、方差、尺度差、矩、协方差、相关系数）的看法，会运用数字特征的基天性子 ，并掌握常用漫衍的数字特征．
2．会求随机变量函数的数学期望．
五、大数定律和中央 极限制 理
考试内容
切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli）大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理 列维-林德伯格（Levy-Lindberg）定理
考试要求
1．相识 切比雪夫不等式．
2．相识 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（自力 同漫衍随机变量序列的大数定律）．
3．相识 棣莫弗-拉普拉斯定理（二项漫衍以正态漫衍为极限漫衍）和列维-林德伯格定理（自力 同漫衍随机变量序列的中央 极限制 理）．
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七、参数预计
考试内容
点预计的看法 预计量与预计值 矩预计法 最大似然预计法 预计量的评选尺度 区间预计的看法 单个正态总体的均值和方差的区间预计 两个正态总体的均值差和方差比的区间预计
考试要求
1．明确 参数的点预计、预计量与预计值的看法．
2．掌握矩预计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然预计法．
3．相识 预计量的无偏性、有用 性（最小方差性）和一致性（相合性）的看法，并会验证预计量的无偏性．
4、明确 区间预计的看法，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间．
八、假设磨练
考试内容
显著性磨练 假设磨练 的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设磨练
考试要求
1．明确 显著性磨练 的基本头脑 ，掌握假设磨练 的基本步骤，相识 假设磨练 可能发生的两类错误．
2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设磨练 ．