【注】为利便 复制编辑，特提供纯文本如下：
方格棋盘的饱和笼罩问题
冯跃峰
在[1]中，我们给出了棋盘饱和笼罩的界说：给定一种图形（称为笼罩形），它由若干方格组成，且每个方格都至少与其中一个方格有公共边。
在m×n的方格棋盘上放置若干个同样规格的图形，每个图形的每个格都恰恰 完整笼罩棋盘的一个格，且任何两个图形没有笼罩公共的格。若是 棋盘上的任何位置都不能再放进一个该规格的图形，则称上述笼罩为m×n方格棋盘的该图形的饱和笼罩。
最常见的笼罩形有：1×2骨牌，k-L形，4-T形，十字形等。
对于m×n方格棋盘的饱和笼罩P，其笼罩形的个数记为|P|，研究|P|的最小值是一个相当难题 的问题。纵然是最简朴的笼罩形：1×2骨牌，m×n方格棋盘的饱和笼罩P中|P|的最小值也没有解决，我们仅仅获得如下的结论[1]：
定理1：设P是m×n方格棋盘相对于1×2骨牌的饱和笼罩，其中3|mn，则
|P|min=mn/3。
本文给出如下的
意料 ：设P是m×n方格棋盘相对于1×2骨牌的饱和笼罩，其中m、n≥2，则|P|min= 。
我们的起源 效果 是：
定理2：设P是m×n方格棋盘相对于1×2骨牌的饱和笼罩，其中m、n≥2，则|P|≥ 。
下面先容 我们的研究思绪 。
【题感】从目的 看，研究骨牌数的下界，等价于研究笼罩格的个数的下界。由此想到将棋盘分为若干块，期望每个小块中笼罩的格数“最优”（至少笼罩格数与总格数之比最大），由此获得下界预计。
怎样 分块才使小块中笼罩的格数“最优”？可先研究特例。我们牢靠 列数为n，对行数m=1，2，3，…举行 研究。
【研究特例】对于1×n的块，相邻2格有一个格被笼罩即可，此时很“不优”（仅占1/2）。其中注重 骨牌并不限制 在块内，只需骨牌在原棋盘内。
对于2×n子棋盘，按如下方式笼罩是饱和的，此时也只笼罩了子棋盘中1/2的格，很“不优”。
【掘客引理】对于3×n子棋盘，容易发现，至少笼罩总格数的2/3（较优）。由此获得一个要害的引理：
引理1：当n≥3时，对于棋盘饱和笼罩中的任何一个3×n子棋盘，都至少有2n个格被骨牌笼罩。
证实 ：考察3×n棋盘中央 一行方格在P中的笼罩情形 。
若是 有某两个相邻的方格被统一 块横向骨牌盖住，则该骨牌上方和下方的4邻格至少有2格在P中被骨牌盖住，否则P是不饱和的。于是，这块骨牌所在的一连 两列在P中被盖住的方格不少于它的总格数的2/3。
去掉所有这样的一连 两列，则剩下的任何列的3格中最多有一个空格（未被骨牌盖住的格），被盖住格也不少于2/3。否则只能是两头两个方格为空格，中央 一格被横向骨牌盖住，但这是前述被去掉了的情形。
由此可知，3×n棋盘在P中被盖住的格数不少于它的总格数的2/3，引理1获证。
【充实条件分类】当mn为3的倍数时，由引理1，不等式显然建设。
剩下的问题是，若是 m、n模3都余1或2，问题怎样 解决？
——自然要支解出若干3×n的矩形，剩下一个1×n或2×n的矩形。
这两种情形可以统一：m模3余2时，支解出2行，剩余的行数为3的倍数；
m模3余1时，将其中“4行”支解为2个“2行”即可。
于是，当m≥4，3|\m时，m×n棋盘总可以支解为若干个3×n棋盘和一个或两个2×n棋盘。而且，当有2个2×n棋盘时，可将其都放在棋盘的首尾界线 上。
由此可知，我们需要研究棋盘界线 上的2×n子棋盘在笼罩中至少被笼罩几多个格。
为此，先给出一个界说：对棋盘饱和笼罩中的一个偶行的矩形子棋盘，若是 矩形中位线一侧的界线 上都没有笼罩骨牌，则称该矩形为“半闭矩形”。
【掘客引理】当支解的2×n子棋盘放置在棋盘界线 上时，它在笼罩中就是一个“半闭矩形”，我们需要研究2×n “半闭矩形”在笼罩中至少被笼罩几多个格，由此获得如下引理。
引理2：对棋盘饱和笼罩中任何一个2×r的“半闭矩形”（r≤n），其被笼罩格的个数记为f（2，r），则f（2，r）≥（4r-1）/3。
【注】我们最初的预期是：2×r的“半闭矩形”在饱和笼罩中被笼罩格的个数不少于2/3，而且可笑的是，我们居然还给出了证实 。但厥后发现，在对r归纳时，其奠基（r=1的情形）泛起了问题，从而其结论现实 上是蜃楼海市 。
经由 修改，才获得上述准确 的预计效果 。但它并没有到达所需要的“2/3”，因而整个棋盘支解后还需举行 较量 细腻 的预计。
【引理2的证实 】对r归纳。当r=1时，f（2，1）≥1=（4·1-1）/3，结论建设；
设结论对小于r的自然数建设，思量 2×r的“半闭矩形”。不妨设子棋盘上半部界线 格线上没有笼罩骨牌，设最上边一行各格依次为a1，a2，…，ar；下边一行各格依次为b1，b2，…，br。
先考察格a1，若是 a1被纵向笼罩，则a1、b1被统一 块骨牌纵向笼罩。此时，第一列的2格都被笼罩，其被笼罩的格不少于该列格子总数的2/3。剩下的矩形左界线 没有被笼罩，它是“半闭矩形”。
若是 a1被横向笼罩，则只能与a2被统一 块骨牌笼罩，此时b1、b2中至少有一个格被笼罩。此时，前2列有3个格被笼罩，其被笼罩格的个数不少于这2列格子总数的2/3。剩下的矩形左界线 上半部没有被笼罩，它是“半闭矩形”。
若是 a1为空格，则b1、a2都必须被笼罩。
若a2被横向笼罩，则只能与a3被统一 块骨牌笼罩，从而b2、b3中至少有一个格被笼罩。此时，前3列有4个格被笼罩，其被笼罩的格的个数不少于这3列格子总数的2/3。剩下的矩形左界线 上半部没有被笼罩，它是“半闭矩形”。
若a2被纵向笼罩，则b2被笼罩。此时前2列有3个格被笼罩，其被笼罩的格的个数不少于这2列格子总数的2/3。剩下的矩形左界线 没有被笼罩，它是“半闭矩形”。
由此可见，不管哪种情形 ，都存在k∈{1，2，3}，使前k列被笼罩的格的个数不少于这k列格子总数的2/3，且剩下的2×（r-k）矩形仍是“半闭矩形”。
经由 若干次上述操作，可使2×r矩形至多剩下一列，以是 f（2，r）≥（2/3）·2r=4r/3，或者f（2，r）≥（2/3）·（2r-2）+1=（4r-1）/3。
综上所述，引理2获证。
【解答原题】当3|mn时，不妨设m=3k（k∈N*），将棋盘划分为k个3×n棋盘。由引理1，每个3×n棋盘在饱和笼罩P中都至少有2/3的格被骨牌笼罩，于是整个m×n棋盘在饱和笼罩P中至少有2/3的格被骨牌笼罩，于是，
|P|≥mn×（2/3）×（1/2）=mn/3，结论建设。
当n≡2（mod3）时，若m≡1（mod3），设m=3k+1（k∈N*），则在m×n棋盘上、下方各划分出一个半闭的2×n棋盘，中央 划分为k-1个3×n棋盘；若m≡2（mod3），设m=3k+2（k∈N），则将棋盘划分为k个3×n棋盘和上方一个半闭的2×n棋盘。
由引理1，每个3×n棋盘在饱和笼罩P中都至少有2/3的格被骨牌笼罩；由引理2，每个半闭的2×n棋盘在饱和笼罩P中被笼罩的格数：
f（2，n）≥ = ≥4n/3，
其中注重 n≡2（mod3）（只需验证n=2和3）。
于是，每个半闭的2×n棋盘在饱和笼罩P中都至少有2/3的格被骨牌笼罩，于是整个m×n棋盘在饱和笼罩P中至少有2/3的格被骨牌笼罩，以是
|P|≥mn×（2/3）×（1/2）=mn/3，结论建设。
当m≡2（mod3）时，同样可知结论建设。
下设m≡n≡1（mod3），令m=3p+1，n=3q+1（p、q∈N*）。在m×n棋盘上、下方各划分出一个半闭的2×n棋盘A、B，中央 的（3p-3）×n棋盘C再划分为p-1个3×n棋盘。
由引理1，每个3×n棋盘在饱和笼罩P中都至少有2/3的格被骨牌笼罩，于是f（3p-3，n）≥（2/3）·（m-4）n=（2mn-8n）/3。
由引理2，对每个2×n棋盘，有
f（A）=f（2，n）≥（4n-1）/3，
f（B）=f（2，n）≥（4n-1）/3。
若是 这两个不等式中有一个不建设等号，不妨设f（A）（4n-1）/3，注重 到n≡1（mod3），有3|（4n-1），而f（A）为整数，以是
f（A）≥（4n-1）/3+1=（4n+2）/3。
此时，f（m，n）≥（4n+2）/3+（4n-1）/3+（2mn-8n）/3=（2mn+1）/3≥2mn/3，|P|≥f（m，n）/2≥mn/3，结论建设。
下设f（A）=f（B）=（4n-1）/3，则
f（m，n）≥2（4n-1）/3+（2mn-8n）/3=（2mn-2）/3。
此时，|P|≥f（m，n）/2≥ ≥ = -1。
若上述不等式建设等号，则引理2中的不等式建设等号，从而m×n棋盘的第一行与最后一行都没有格被纵向骨牌笼罩。
由对称性，m×n棋盘的第一列与最后一列都没有格被纵向骨牌笼罩。于是，棋盘4个角上方格都没有被骨牌笼罩（好比左上角方格，是因第一行不能纵向笼罩，第一列不能横向笼罩），且内部（m-2）×（n-2）棋盘周围 都是关闭的（没有骨牌露出界线 ）。
由于 m-2≡2（mod3），由上面的讨论，其中内部（m-2）×（n-2）棋盘中被笼罩的格数：
f（m-2，n-2）≥ = 。
对于第一行，除第一格外，每一连 3个格为一组，共分为q组。若是 某个组有2个空格，则中央 一格必被纵向笼罩，矛盾。于是每个组至少有2个格被笼罩，从而第一行被笼罩的格的个数不少于2q。
同样，最后一行被笼罩的格的个数不少于2q。
由对称性，第一列与最后一列被笼罩的格的个数都不少于2p。以是 ，
f（m，n）≥ +4p+4q，
|P|≥f（m，n）/2≥ +2p+2q
= +2p+2q=3pq-p-q+1+2p+2q=3pq+p+q+1= 。
这与假设|P|= -1矛盾，故|P|≥ 。
遗留的问题是，其中等号能否到达？我们意料 是可以的，期望有兴趣的读者给出证实 或否认。
此外，我们在[1]中还证实 晰 如下的结论：
定理3：设P是m×n方格棋盘相对于3-L形的饱和笼罩，则 。
我们期盼有读者能刷新 这一预计。
参考文献
1.冯跃峰.棋盘上的组合数学[M].上海：上海教育出书社.1998，9