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一、幂律原理?

幂法用于计算矩阵的最大特征值及其特征向量。


其操作极其简单。nn矩阵实际上是在一定基础上从线性空间到自身的线性变换的表示。因此,矩阵A最自然的功能就是作用于一个向量v,将其变成另一个向量w。对于这个新的w,我们可以再次使用A。经过这样的迭代,最终的向量将收敛到模最大的特征值对应的特征向量。


这里的情况与卓别林在电影《摩登时代》中的做法有些相似。他有一把扳手。扳手最自然的功能是转动螺丝。于是,当他手里拿着扳手时,他到处寻找螺丝,最后在一个等车的路人的裤子上发现了一颗铝扣子。


我们手中有一个矩阵,它最自然的功能就是与向量相乘。所以我们能做的就是找到一个向量,对其进行操作,然后对其进行操作。


幂法简单直观,但推广潜力巨大。幂法的缺点是只保留当前向量而忽略之前的向量,就像猴子掰玉米一样。如果我们保留之前的向量,我们可以从中提取有关矩阵的更多信息。这就是克雷洛夫的想法。由向量v生成的一系列向量v,Av,A^2v,A^3v,---形成一个子空间,即所谓的克雷洛夫空间。幂法只是将最后产生的向量作为所需特征向量的近似值。但更聪明的想法是采用所有这些向量的线性叠加作为所需特征向量的近似值。这就是严格对角lanczos方法的作用。


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