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2019年数学三考试纲要
考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计
考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为150分，考试时间为180分钟．
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试．
三、试卷内容结构
微积分 约56%
线性代数 约22%
概率论与数理统计 约22%
四、试卷题型结构
单项选择题选题 8小题，每小题4分，共32分
填空题 6小题，每小题4分，共24分
解答题（包罗证实 题） 9小题，共94分
微积分
一、函数、极限、一连
考试内容
函数的看法及体现法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性子 及其图形 初等函数 函数关系的建设
数列极限与函数极限的界说及其性子 函数的左极限和右极限 无限 小量和无限 大量的看法及其关系 无限 小量的性子 及无限 小量的较量 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个主要 极限：
函数一连 的看法 函数中止 点的类型 初等函数的一连 性 闭区间上一连 函数的性子
考试要求
1．明确 函数的看法，掌握函数的体现法，会建设应用问题的函数关系．
2．相识 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．明确 复合函数及分段函数的看法，相识 反函数及隐函数的看法．
4．掌握基本初等函数的性子 及其图形，相识 初等函数的看法．
5．相识 数列极限和函数极限（包罗左极限与右极限）的看法．
6．相识 极限的性子 与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算规则，掌握使用 两个主要 极限求极限的要领．
7．明确 无限 小量的看法和基天性子 ，掌握无限 小量的较量 要领．相识 无限 大量的看法及其与无限 小量的关系．
8．明确 函数一连 性的看法（含左一连 与右一连 ），会判别函数中止 点的类型．
9．相识 一连 函数的性子 和初等函数的一连 性，明确 闭区间上一连 函数的性子 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性子 ．
二、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的看法 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与一连 性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的稳固 性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital）规则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值
考试要求
1．明确 导数的看法及可导性与一连 性之间的关系，相识 导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的看法），会求平面曲线的切线方程和法线方程．
2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算规则及复合函数的求导规则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．
3．相识 高阶导数的看法，会求简朴函数的高阶导数．
4．相识 微分的看法、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的稳固 性，会求函数的微分．
5．明确 罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，相识 泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简朴应用．
6．会用洛必达规则求极限．
7．掌握函数单调性的判别要领，相识 函数极值的看法，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．
8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．其时，的图形是凹的；其时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．
9．会形貌 简朴函数的图形．
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的看法 不定积分的基天性子 基本积分公式 定积分的看法和基天性子 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用
考试要求
1．明确 原函数与不定积分的看法，掌握不定积分的基天性子 和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．
2．相识 定积分的看法和基天性子 ，相识 定积分中值定理，明确 积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．
3．会使用 定积分盘算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会使用 定积分求解简朴的经济应用问题．
4．相识 反常积分的看法，会盘算反常积分．
四、多元函数微积分学
考试内容
多元函数的看法 二元函数的几何意义 二元函数的极限与一连 的看法 有界闭区域上二元一连 函数的性子 多元函数偏导数的看法与盘算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的看法、基天性子 和盘算 无界区域上简朴的反常二重积分
考试要求
1．相识 多元函数的看法，相识 二元函数的几何意义．
2．相识 二元函数的极限与一连 的看法，相识 有界闭区域上二元一连 函数的性子 ．
3．相识 多元函数偏导数与全微分的看法,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会叱责 微分,会求多元隐函数的偏导数．
4．相识 多元函数极值和条件极值的看法，掌握多元函数极值存在的须要条件，相识 二元函数极值存在的充实条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简朴多元函数的最大值和最小值，并会解决简朴的应用问题．
5．相识 二重积分的看法与基天性子 ，掌握二重积分的盘算要领（直角坐标、极坐标），相识 无界区域上较简朴的反常二重积分并会盘算．
五、无限 级数
考试内容
常数项级数的收敛与发散的看法 收敛级数的和的看法 级数的基天性子 与收敛的须要条件 几何级数与级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 恣意 项级数的绝对收敛与条件收敛 交织级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基天性子 简朴幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数睁开 式
考试要求
1．相识 级数的收敛与发散、收敛级数的和的看法．
2．相识 级数的基天性子 及级数收敛的须要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的较量 判别法和比值判别法．
3．相识 恣意 项级数绝对收敛与条件收敛的看法以及绝对收敛与收敛的关系，相识 交织级数的莱布尼茨判别法．
4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．
5．相识 幂级数在其收敛区间内的基天性子 （和函数的一连 性、逐项求导和逐项积分），会求简朴幂级数在其收敛区间内的和函数．
6．相识 ，，，及的麦克劳林（Maclaurin）睁开 式．
六、常微分方程与差分方程
考试内容
常微分方程的基本看法 变量可疏散的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性子 及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简朴的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的看法 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简朴应用
考试要求
1．相识 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等看法．
2．掌握变量可疏散的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解要领．
3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．
4．相识 线性微分方程解的性子 及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．
5．相识 差分与差分方程及其通解与特解等看法．
6．相识 一阶常系数线性差分方程的求解要领．
7．会用微分方程求解简朴的经济应用问题．
线性代数
一、行列式
考试内容
行列式的看法和基天性子 行列式按行（列）睁开 定理
考试要求
1.相识 行列式的看法，掌握行列式的性子 ．
2.会应用行列式的性子 和行列式按行（列）睁开 定理盘算行列式．
二、矩阵
考试内容
矩阵的看法 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的看法和性子 矩阵可逆的充实须要条件 陪同矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算
考试要求
1．明确 矩阵的看法，相识 单元矩阵、数目 矩阵、对角矩阵、三角矩阵的界说及性子 ，相识 对称矩阵、阻挡称矩阵及正交矩阵等的界说和性子 ．
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算纪律，相识 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性子 ．
3.明确 逆矩阵的看法，掌握逆矩阵的性子 以及矩阵可逆的充实须要条件，明确 陪同矩阵的看法，会用陪同矩阵求逆矩阵.
4.相识 矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的看法，明确 矩阵的秩的看法，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的要领．
5.相识 分块矩阵的看法，掌握分块矩阵的运算规则．
三、向量
考试内容
向量的看法 向量的线性组合与线性体现 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化要领
考试要求
1．相识 向量的看法，掌握向量的加法和数乘运算规则．
2．明确 向量的线性组合与线性体现、向量组线性相关、线性无关等看法，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性子 及判别法．
3．明确 向量组的极大线性无关组的看法，会求向量组的极大线性无关组及秩．
4．明确 向量组等价的看法，明确 矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．
5．相识 内积的看法．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）要领．
四、线性方程组
考试内容
线性方程组的克拉默（Cramer）规则 线性方程组有解和无解的判断 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与响应 的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解
考试要求
1.会用克拉默规则解线性方程组．
2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判断 要领．
3.明确 齐次线性方程组的基础解系的看法，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．
4.明确 非齐次线性方程组解的结构及通解的看法．
5.掌握用初等行变换求解线性方程组的要领．
五、矩阵的特征值和特征向量
考试内容
矩阵的特征值和特征向量的看法、性子 相似矩阵的看法及性子 矩阵可相似对角化的充实须要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵
考试要求
1.明确 矩阵的特征值、特征向量的看法，掌握矩阵特征值的性子 ，掌握求矩阵特征值和特征向量的要领．
2.明确 矩阵相似的看法，掌握相似矩阵的性子 ，相识 矩阵可相似对角化的充实须要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的要领．
3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性子 ．
六、二次型
考试内容
二次型及其矩阵体现 条约变换与条约矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的尺度形和规范形 用正交变换和配要领化二次型为尺度形 二次型及其矩阵的正定性
考试要求
1.相识 二次型的看法，会用矩阵形式体现二次型，相识 条约变换与条约矩阵的看法．
2.相识 二次型的秩的看法，相识 二次型的尺度形、规范形等看法，相识 惯性定理，会用正交变换和配要领化二次型为尺度形．
3.明确 正定二次型、正定矩阵的看法，并掌握其判别法．
概率论与数理统计
一、随机事务 和概率
考试内容
随机事务 与样本空间 事务 的关系与运算 完整 事务 组 概率的看法 概率的基天性子 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事务 的自力 性 自力 重复试验
考试要求
1．相识 样本空间（基本事务 空间）的看法，明确 随机事务 的看法，掌握事务 的关系及运算．
2．明确 概率、条件概率的看法，掌握概率的基天性子 ，会盘算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．
3．明确 事务 的自力 性的看法，掌握用事务 自力 性举行 概率盘算；明确 自力 重复试验的看法，掌握盘算有关事务 概率的要领．
二、随机变量及其漫衍
考试内容
随机变量 随机变量漫衍函数的看法及其性子 离散型随机变量的概率漫衍 一连 型随机变量的概率密度 常见随机变量的漫衍 随机变量函数的漫衍
考试要求
1．明确 随机变量的看法，明确 漫衍函数
（）
的看法及性子 ，会盘算与随机变量相联系的事务 的概率．
2．明确 离散型随机变量及其概率漫衍的看法，掌握0－1漫衍、二项漫衍、几何漫衍、超几何漫衍、泊松（Poisson）漫衍及其应用．
3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松漫衍近似体现二项漫衍．
4．明确 一连 型随机变量及其概率密度的看法，掌握匀称 漫衍、正态漫衍、指数漫衍及其应用，其中参数为的指数漫衍的概率密度为
5．会求随机变量函数的漫衍．
三、多维随机变量的漫衍
考试内容
多维随机变量及其漫衍函数 二维离散型随机变量的概率漫衍、边缘漫衍和条件漫衍 二维一连 型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的自力 性和不相关性 常见二维随机变量的漫衍 两个及两个以上随机变量简朴函数的漫衍
考试要求
1．明确 多维随机变量的漫衍函数的看法和基天性子 ．
2．明确 二维离散型随机变量的概率漫衍和二维一连 型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘漫衍和条件漫衍．
3．明确 随机变量的自力 性和不相关性的看法，掌握随机变量相互自力 的条件，明确 随机变量的不相关性与自力 性的关系．
4．掌握二维匀称 漫衍和二维正态漫衍，明确 其中参数的概率意义．
5．会凭证 两个随机变量的团结 漫衍求其函数的漫衍，会凭证 多个相互自力 随机变量的团结 漫衍求其简朴函数的漫衍．
四、随机变量的数字特征
考试内容
随机变量的数学期望（均值）、方差、尺度差及其性子 随机变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev）不等式 矩、协方差、相关系数及其性子
考试要求
1．明确 随机变量数字特征（数学期望、方差、尺度差、矩、协方差、相关系数）的看法，会运用数字特征的基天性子 ，并掌握常用漫衍的数字特征．
2．会求随机变量函数的数学期望．
3．相识 切比雪夫不等式．
五、大数定律和中央 极限制 理
考试内容
切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli）大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理 列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理
考试要求
1．相识 切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（自力 同漫衍随机变量序列的大数定律）．
2．相识 棣莫弗—拉普拉斯中央 极限制 理（二项漫衍以正态漫衍为极限漫衍）、列维—林德伯格中央 极限制 理（自力 同漫衍随机变量序列的中央 极限制 理），并会用相关定理近似盘算有关随机事务 的概率．
六、数理统计的基本看法
考试内容
总体 个体 简朴随机样本 统计量 履历 漫衍函数 样本均值 样本方差和样本矩 漫衍 漫衍 漫衍 分位数 正态总体的常用抽样漫衍
考试要求
1．相识 总体、简朴随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的看法，其中样本方差界说为
2．相识 发生变量、变量和变量的典型模式；相识 尺度正态漫衍、漫衍、漫衍和漫衍的上侧分位数，会查响应 的数值表．
3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样漫衍．
4.相识 履历 漫衍函数的看法和性子 ．
七、参数预计
考试内容
点预计的看法 预计量和预计值 矩预计法 最大似然预计法
考试要求
1．相识 参数的点预计、预计量与预计值的看法．
2．掌握矩预计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然预计法．
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