定理 6. 给定一个从单元方形
到
的分片线性映射, 而且在界线 点周围
是单值, 那么一定存在一个分片线性的嵌入, 它在界线 周围
与一致.
Papakyriakopoulos 的证实 使用了巧妙的塔结构, 可简述如下: 像集
的正则邻域 N 是一个带边的三维流形. 若是 某一界线 分支有非零的亏格, 我们可以放在 N 的复迭空间中, 奇异的圆盘被提升到复迭空间中的奇异圆盘. 要害的步骤是提升的圆盘有更简朴的奇异, 于是在重复这一步骤有限次之后, 我们会到达亏格零的情形. 从而证实 完成. 一个主要 的推论如下:
设
是一个简朴闭的分片线性曲线. 那么 K 不打结当且仅当
.现实 上, 若是 K 是打结的,
会含有子群
, 它来自于K 的管状邻域界线 .
3.8 Wolfgang Haken, 慕尼黑, Friedhelm Waldhausen, 波恩, 20 世纪 60 年月
由界说, 在紧致可定向的分片线性三维流形M 中的不行压缩曲面是一个紧致可定向的分片线性曲面 F, 知足 :
• 基本 π1(F) 非通俗 , 并嵌入于 π1(M ), 而且
• 若是 F 有边, 那么 M 一定 有边而且 ∂F ⊂ ∂M .
有这样不行压缩曲面的不行约流形称为 “充实大流形”, 或 Haken 流形. (这里, 不行约是指恣意 的嵌入二维球面都以三维球体为界线 .) 给定一个不行压缩曲面, 再沿着它切开, Haken 在1962 年证实 人们可归纳地结构一系列不行压缩曲面, 将流形分成单连通的块. 他从没揭晓 该文章的下一部门, 其中应含有他所做论证的细节. Waldhausen 在1968 年揭晓 了一个完整的叙述 , 并含有进一步更主要 的效果 . 特殊 地, 他证实 恣意 一个闭的 Haken 流形, 在相差一个分片线性同构意义下, 由其基本群唯一决议 . (在有边 Haken 流形的情形, 人们还必须思量 对应于界线 分支的子群.) 厥后, Gordon 与Luecke[1989] 使用 这一事情, 证实 出素纽结被其补集的基本群唯一决议 .
3.9 George D. Mostow, 耶鲁, 1968 年
下面一个主要 孝顺 来自于完全差异的数学领域.
刚性定理. 维数≥3的有曲率 K ≡ −1 的闭Riemann 流形, 在相差一个等距意义下, 由其基本群唯一决议 .
此效果 也被 Margulis 证出, 由 Prasad 扩展到体积有限的完整 流形中. 一个主要 的推论是:
这种流形的体积也是一个拓扑稳固 量.
这是一个全新类型的拓扑稳固 量, 与以前所知的完全差异. 许多其他的同构稳固 量现在提升成同伦稳固 量, 如闭测地线的长度和 Laplace 算子的特征值. 然而, 体积是一个特殊 利便 举行 研究的稳固 量.
在 20 世纪 70 年月 , Robert Riley, 一个英格兰南安普顿的博士研究生, 研究纽结群到双曲三维空间自同构群 PSL(2, C) 的体现, 集中在将纬元清静 行于纽结的元素映到群中抛物元素的那些体现. 他发现了几个例子 (包罗 8 字型纽结), 其体现不仅将
同构地映至PSL(2, C) 的子群
, 而且能提升成从纽结补集到商空间
的同胚, 这是一个体积有限的双曲流形, 即它在一个常负曲率怀抱下是完整 的, 而且体积有限.
这样, 8 字型纽结在
中的补集能被赋予一个体积有限的完整 的双曲结构.
依然是在 20 世纪 70 年月 , 哥伦比亚大学的 Troels Jørgensen 发现了 PSL(2, C) 子群
的一些例子, 其商空间
是有圆周上纤维丛结构的紧致双曲流形.
3.10 William Thurston, 普林斯顿, 20 世纪 70 年月 后期
Thurston 找到了更多的双曲纽结补空间. 他盘算了 8 字型纽结补的体积, 通过将其 “三角剖分” 成两个理想等边 3 维单形来举行 . (参见Gieseking [1912]. ) 使用可追溯到Lobachevsky 的要领, 该体积是
关于双曲体积, 他的主要效果 可叙述如下:
定理 7. 双曲三维流形所有体积值组成的荟萃是一个良序集, 即其中任何一个非空子集有最小元素. 更进一步, 对任何牢靠 的体积, 最多存在有限多个互差异胚的流形.
现实 上, 有 k(k≥1) 个端的恣意 一个流形的体积是有 k − 1 个端流形体积的递增极限. 想法是每个端等同于
一个嵌入复本, 它可以被切掉而用一个实心环
以无限个差异的方式替换 . 险些所有这些简化后的流形都能被赋予双曲结构, 它们的体积递增地趋向原来流形的体积.
举一个例子, Whitehead 链环在
中的补有两个端, 对应于链环的两个分支. 图中相绕的实心环中的一个或者两个可以挖空并以无限多的方式填充上新的实心环. 在此特殊的情形, 链环的补有双曲体积 V = 3.66386 · · · .
3.11 William Jaco, Peter Shalen, Klaus Johannson, 20世纪 70 年月 后期
以这三位命名的 JSJ 剖析, 是沿着嵌入的球面或环面切割把三维流形剖析成更简朴小块的方式.
下面是其中的一种叙述.
定理 8. 恣意 一个不行约的定向三维流形都有一个 (相差同痕) 唯一的互不相交的嵌入不行压缩环面组成的最小集, 使得沿这些环面切开的三维流形分支或者是非环性的 (atoroidal)或者是 Seifert 纤维化.
此处非环性体现, 它不再有不行压缩的嵌入环面.
3.12 Thurston, 1982 年: 几何化意料
这个斗胆的意料 指出每个三维闭流形都由一些有简朴几何结构的块组成. 确切地说, 意料 断言每个平滑三维闭流形都可以通过一些嵌入的球面和环剖析成若干
, 恣意 一个
都能被赋予局部齐性结构, 使得万有复迭
是齐性空间能性.
更进一步,
恰有八种可能性, 其中的三个是经典的几何:
(1)球面
, 有曲率 K ≡ +1. 以
为万有复迭的Riemann盛行 已由 HeinzHopf 在1952年分类.
(2) 欧氏空间
, 有曲率 K ≡ 0. 对应的紧致平展 流形已由 Bieberbach 在 1911 年分类.
(3) 双曲空间
, 有曲率 K ≡ −1. 它是最有趣和最难题 的情形.
下面两个几何很容易明确 .
(4)
. 例如,
(5)
. 例如,
(双曲曲面).
至于最后三个几何,
将是三维李群, 带有最大对称的左稳固 怀抱.
(6) 幂零几何, 有幂零群
.例如, 环面上非通俗 圆周丛.
(7) 可解几何, 有可解群
.例如, 圆周上大多数环面丛.
(8)
几何. 例如, 双曲曲面的单元切丛.请注重 几何化意料 包罗 Poincaré 意料 做为一个特例. Thurston 在许多有趣而且难题 的情形证实 晰 几何化意料 . 然而一样平常 的情形, 特殊 是 Poincaré 意料 , 躲开了他.
3.13 Richard Hamilton, 康奈尔大学, 1982 年
Hamilton 使用 微分方程
的 Ricci 流为研究流形的拓扑引入了全新的要领. 这里的
是 Riemann 流形在局部坐标下的怀抱张量, 而
是 Ricci 曲率张量. 与热传导方程有些相似, 热量从热的区域流向冷的区域, 使得趋向常温. 同样地, 在 Ricci 流下, 曲率可直观地想象成从正曲率区域流向负曲率区域, 趋向于曲率的一致漫衍.
若是 我们的起点 是严酷 正 Ricci 曲率的流形, Hamilton 能够做出证实 . 这种情形, 怀抱流向常正曲率的怀抱, 从而且证实 该流形微分同胚于尺度的三维球面. 但对于更一样平常 的初始条件,怀抱会发生重大 的奇点, Hamilton 没能取得更多的希望 .
3.14 Grigori Pereleman, 圣彼得堡, 2003 年
通过对Ricci 流所发生奇点的仔细和精巧剖析 , Perelman 解决了 Hamilton 遇到难题. 一些奇点相对可控, 可以消除. 其他一些对应于将嵌入球面缩短 成一点, 于是对应于连通和剖析. 同样尚有 其他的奇点, 对应于环面剖析. 最后, 当没有奇点时, 流导致趋于齐性的极限. 以这种方式,我们能完玉成部几何化意料 的证实 , 包罗做为一个特例的Poincaré意料 .
※ 进一步的注记：
A3.1. Heegaard. 现在 , 我们习惯于用 Heegaard 剖析讨论分片线性流形. (如见Hempel [1976].) 然而, 使用 Smale 型的论证和 “好” 的Morse 函数, 我们同样地可以结构平滑流形的 Heegaard 剖析. Heegaard的原始论证简直使用了可微的要领, 可是 以一个相当直观的气焰 气焰 .
A3.2. Poincaré. 非通俗 Poincaré 同调球的一个利便 模子 是球形正十二面体空间, 从一个正十二面体通过等同相对的面获得, 等同历程是球面上的一个移动复合上一个 2π/10 旋转.仔细视察, 由此发生的空间可以赋予常正曲率怀抱. (参见 Seifert 和 Threlfall [1934].) 不难发现, 它同胚于陪集空间
. 这个陪集空间可以等效形貌 为: 空间一点对应于中央 在原点的正二十面体 (或十二面). 关于十二面体空间相当于 Poincaré原始结构的证实 见Cannon [1978].
犹如 看待 19 世纪的所有数学一样, 我们必须小心, 由于 有些词的意义已经改变. 对于 Poincaré, “单连通” 空间是指拓扑上的胞腔或球面, 他的“Betti 数” 是我们的 Betti 数加一.
A3.3. Alexander. 在 20 世纪 30 年月 晚期, Alexander 是上同调治论首创人之一, 界说了恣意 紧怀抱空间的上同调群. (Alexander 的上同调群是同构于几年后界说的 Cech 上同调群, 虽然结构极为差异.)
我从来没有见过 Alexander, 他从 1951 年在高等研究院退休时, 就隐居起来, 直到他二十年后离世. 也许他想呆在人们的视线之外, 由于 麦卡锡时代的政治天气 对于他那样的持左翼政治看法的人是很危 险的. Alexander 是继续工业的一个百万富翁, 从来没有领取研究院的人为.
A3.4. Kneser. 若是 流形 M 非素, 那么它可以被形貌 为连通和
. 类似地, 若是 其中的一个流形不是素的, 则它也可以体现为连通和, 以此类推. 问题是要证实 这个结构一定 能最终阻止 . 我在 50 年前试图解决这个问题 (见 Milnor [1962]), 然后如释重负地也是懊恼地发现 Kneser 在我出生之前就解决了它.
Kneser, 像 Bieberbach, Teichmüller 和 Witt 一样, 是纳粹党的早期支持者.
A3.7. Papakyriakopoulos. 他在普林斯顿的大部门时间, 我在那里. 我一定 熟悉 他, 但不记得曾经与他有过交流, 也许我们都很怕羞. 他很起劲 地独自事情, 获得了由 Ralph Fox 想法 部署的一个小的资助. 当他的效果 发现时, 我全然惊呆了, 我想其他人也会是这样吧. 他的主要 效果 , 不仅包罗 Dehn 引理, 而且尚有 环路定理, 它是一个更强的版本以及球定理. 球定理断言: 对于知足 条件
的每一个可定向的分片线性三维流形M , 都可以找到一个分片线性的嵌入球面, 它代表
中一个不通俗 的元素.
在Papakyriakopoulos之前和之后, 有一个很长的纽结理论的历史. 最先 于由P.G.Tait 在19世纪的一次实验, 接下来有J.W. Alexander, K. Reidemeister 和许多人的事情. 更完整 的形貌 , 可见于: Crowell 和 Fox [1963], Rolfsen [1976], Lickorish [1997] 以及 Manolescu [2014].
哪些数可成为双曲三维流形的体积? 这样的数论将会是很有趣.(例如, 见 Borel [1981] 和 Zagier [1986], 尚有 我在 Thurston [1980, 第 7 章]中的评述).
与 Thurston 攀谈使我感应很是好奇, 我是典型地对他的数学断言持嫌疑 态度的人. 他的断言经常是很是疯狂, 但他却从未堕落.
§4. 四维流形
复二维代数簇, 也就实的四维流形, 早期研究者有Picard 与 Simart [1897, 1906], Poincaré [1904], Enriques [1905], Lefschetz [1924]. 物理学家感兴趣的四维流形, 是那些可能做为时空模子 的一类 (见 Friedman [1922]) .然而除了Seifert与Threlfall [1934] 中的一些少数内容之外, 一样平常 四维流形的正式的拓扑学研究在 20 世纪 50 年月 才最先 .那时, 一样平常 地以为 n 维流形的拓扑会随着 n 增添 而越来越难, 这到四维为止简直是准确 的.
4.1 A. A. Markov Jr., 莫斯科, 1958 年
Markov 对四维流形的研究做出了一个破损 性的孝顺 .
定理 9. 对于 n≥4, 在同胚意义下分类 n 维流形是算法上不行解的.
这里说一下证实 提要,为简朴起见取 n = 4.
给定一个群体现 P , 有 p 个天生 元和 q 个关系, 结构一个响应 的四维流形M (P) 如下: 从 p 个
的连通和最先 , 挖去 q 个互不相交的
, 代表q 个关系. 然后, 在每个挖空处填充上一个
, 从而消掉基本群中对应元素. 现在设 P' 是由 P 加上 p 个通俗 关系“1” 所得的体现,Markov 证实 M (P') 同胚于 q 个
连通和当且仅当响应 的群通俗 . 由于 有限体现群的通俗 性问题是算法不行解的 (见 Adyan [1955]), 以是 结论建设.
因此, 分类四维流形定理, 我们只能希望建设在有已确定基本群的流形中.
4.2 J. H. C. Whitehead, 牛津, 1949 年
近期, Whitehead 在同伦型意义下分类了四维复形. 应用于流形, 他的效果 有如下推论 (参见Milnor[1958].).
推论1. 单连通的定向四维闭流形, 在同伦型意义下, 由如下的相交形式
决议 . 这个形式是对称、双线性和幺模的 (即: 其行列式为 ±1).
这种对称双线性形式的分类是数论中主要 而不通俗 的问题. 不定形式的分类是容易的, 而正定的情形极难题 , 由于 差异形式数随着秩数极快地增添 .
例如, 由 Carl Ludwig Siegel 的事情可知, 有多于 904, 000, 000 个差异的秩为 30 的正定幺模的形式.
4.3 Vladimir Rokhlin, 莫斯科, 1952 年
下面的效果 是明确 高维流形的主要 一步, 亦是微分拓扑的起源 .
定理 10. 若是 一个平滑四维闭流形有正定的相交形式, 而且自相交数 u·u≥0 仅取偶数, 那么该形式的秩 (即中央 维数的Betti 数) 能被 16 整除.
与之形成对比的是, 一个仅取偶数值的正定幺模形式的秩可以是 8 的恣意 倍数. 最简朴的非通俗 例子可由 E8 的 Dynkin 图来体现, 如下所示
这里的每个圆点都体现有自相交数 u·u = 2 的基向量, 两个相异基向量的相交数, 在有连线时是 +1, 在其余情形 是 0. 因此, 没有平滑四维闭流形以这个对称双线性形式为相交形式.
在其时, 限制到平滑流形似乎像一个小的技巧,但最终成为一个要害.
4.4 Michael Freedman, 加州大学圣迭戈分校, 1982 年
定理 11. 单连通定向四维闭流形在同胚的意义下唯一决议 于
• 它的相交形式, 和
• 它的 “Kirby-Siebenmann 稳固 量”. 这是一个
中的元素, 在平滑流形情形总是零.
更进一步, 恣意 一个对称双线性的幺模形式都能被拓扑流形实现.
由此特殊 会得出, 存在着许多拓扑四维闭流形, 它们有偶的正定形式, 其秩模 16 是 8. 凭证 Rokhlin 的结论, 这类流形 M 在如下更强的意义下没有平滑结构.
与 M 有相同伦型的四维流形都没有平滑结构.
Freedman 的证实 基于极端不行微的要领, 并含有 grope 这一看法.(看法以及示例说明, 都归于 Cannon [1978].)
4.5 Simon Donaldson, 牛津, 1983 年
Donaldson 使用 完全差异的要领证出一个神奇的效果 .
定理 12. 若是 说一个平滑的单连通四维闭流形 M 有正定的相交形式, 那么该形式是可对角化的.
这样, 加上 Freedman 的效果 , M 一定同胚于连通和
要说明这两个效果 的鲜明对比, 请注重 :
推论2. 在凌驾 904, 000, 000 个有秩为 30 正定相交形式的拓扑流形同胚类中, 仅有一个能被平滑流形体现.
Donaldson 的证实 是基于 “瞬子 (instanton)” 研究, 这是来自数学物理的启发. 所用的拓扑学很少, 但有大量的深刻的剖析 学.
4.6 Clifford Taubes, 哈佛, 1987 年
许多数学家注重 到, 将 Freedman 的焦点拓扑和Donaldson 的剖析 要领相团结 有着更巧妙 的推论.(参见 Gompf [1983, 1993].) 现举一个来自于 Taubes 的例子:
定理 13. 欧氏空间
能被赋予不行数多个互不相同的微分结构.
与之相反, 对于 n≠4,
在微分同胚意义下有唯一的微分结构. 因此, 维数4 与其他维数确定差异!
4.7 结语: 接下来会是什么?
关于平滑四维流形, 依然有许多内容要相识 . 平滑的 Poincaré 意料 在四维是一个诱人的未解决问题. (参见Freedman, Gompf, Morrison和Walker [2010]) 让我们看一下在其他维数都知道什么:
对于 n≥1, 容易看出同胚于 n 维球面的保向微分同胚类在连通和运算下, 形成一个交流并团结 的半群
.定理 14 (Kervaire 和 Milnor). 对于 n≠4, 该半群
现实 上是有限交流群.
可是, 半群
全然未知: 它通俗 吗? 若不通俗 , 它是个群吗? 它多大? 若不是一个群, 它是什么样的半群?
※ 注记：
A4.2. Whitehead. 更多的细节, 参见 Whitehead [1949a] 以及Milnor [1958]. Whitehead 是一个很好的朋侪 , 是我所见过的以养猪为喜欢 的唯一数学家.
对称双线性形式
, 其中 x 和 y 取值于自由交流群
, 通常等同于二次型
有关这种形式的综述, 见 Serre [1970] 或Milnor 和 Husemoller [1973]. 由界说,若是 两个形式有相同的秩和符号差 (这说明它们在实数域上同构), 而且它们对恣意 n 是模 n 同构的, 则称它们有相同亏格. 在幺模情形, 若牢靠 秩 r 和符号差 σ, 仅有两种亏格:“偶”, 仅取偶数值; “奇”, 取奇或偶数值. 这些稳固 量仅有显然的限制条件 |σ|≤r 和 σ≡r(mod 2), 及不大显然的条件: 在偶的情形有 σ≡0(mod 8). 现实 上, 在不定的幺模情形, 亏格是完全的同构稳固 量. 可是, 在定号的情形下， Carl Ludwig Siegel 关于亏格 “质量” 的剖析 盘算得出了相异同构类个数的很有用的下界. 由界说, 质量是对该亏格所有同构类 Φ 求和, 并除以 |Aut(Φ)|, 其中 |Aut(Φ)|≥2 是代表二次型自同构群的阶数.
A4.3. Rokhlin . Rokhlin 定理 (使用现代记号) 的最初形式是:一个带有 Stiefel-Whitney 类w2 = 0 的四维流形一定有被48 整除的Pontryagin 类p1. 事实上, Pontryagin 数p1[M4]即是三倍的符号差. 在单连通的情形 下, 相交形式是偶的当且仅当 w2 = 0. 他的基于示性类之间的关系、配边、以及低维球面的同伦群的证实 , 引发了微分拓扑研究的新领域. (René Thom 配边的完整理论两年后才揭晓 .) 关于进一步生长, 见 Kervaire 和 Milnor[1960] 或Hirzebruch [1966, 199 页]. Rokhlin 也因遍历理论中的孝顺 , 而为人所知.
Rokhlin 的人生相当崎岖 . 他的父亲在斯大林的大洗濯 中于 1941被处决, Rokhlin 自己在守卫莫斯科战斗中受伤, 在德国的一个战俘营被囚禁了一年或两年, 之后想法 逃走 并最终加入苏联军队. 战争竣事 后, 他又被关在一个苏联营地中一年多的时间, 由于 斯大林对返回的战争囚犯是很是嫌疑 的. 最后, 经由 Kolmogorov 和 Pontryagin 的调整, 他被释放并担任了一段时间的 Pontryagin 助手. 在 1952 年, 有传言说所有少数民族的犹太人将被驱逐到远东, 他找到一个更清静 的地方: 在北部的阿尔汉格尔斯克林业研究所. 在那里, 他在一个很低的位置上渡过了几年. 最后, 于 1959 年他获得在列宁格勒州立大学的职位. 在那里, 他的学生有: Yakov Eliashberg, Mikhail Gromov, Anatoly Vershik 和 Oleg Viro.
A4.4. Freedman. 在 “偶” 相交形式的情形下, Freedman 的定理更准确地说明 Kirby-Siebenmann 稳固 量可以视为 σ/8(mod 2), 其中 σ 是符号差. 另一方面, 在 “奇” 的情形下,Kirby-Siebenmann 稳固 量和相交形式都可以自力 地转变 . 因此, “最简朴” 的非平滑例子有与复射影平面相同的伦型.
Kirby-Siebenmann 稳固 量做为
的一个上同调类, 界说更一样平常 的恣意 维数的拓扑流形上. 在严酷 大于 4 (或当 M 有边时, 大于 5) 的维数情形下, 该变量为零当且仅当流形有一个局部门片线性同胚于欧氏空间的三角剖分. (在四维流形情形, 我们仅可以说: 它消逝 当且仅当 M × R 有这样一个三角剖分.) 类似地, 给定分片线性流形的两个复本 M × 0 和 M × 1的三角剖分, 有一个在
中的关于扩充三角剖分到分片线性流形 M × [0, 1] 上的阻碍.
Freedman的原始证实 是基于 Casson 柄体这一看法 (或称 “柔性柄体”), 加厚的 2 维圆盘的一个变种. 本节图中说明晰 相关的看法 grope, 这归功于Cannon[1978]. 参见Kirby[1989] 或 Scorpan[2005] 中的叙述 .Freedman 的非平滑流形对我来说是很神秘的事物. 我们知道他们的存在, 但似乎对其中的任何一个, 都不行能构建一个完全明确的形貌 .
近年来, Freedman 已成为一位应用拓扑学家, 他是微软的 Q 事情间(Station Q) 的认真 人, 这个部门试图用拓扑的想法建设一个能运行的量子盘算机.
A4.5. Donaldson. 这是关于 Donaldson 论证的一个很是简陋的轮廓. (参见Donaldson[1983, 1983b], Donaldson 和Kronheimer [1990].)
给定一个有正定相交形式的四维 Riemann 流形 M , 他选择 M 上一个特定的 SU2 丛, 考察丛上所有 “自对偶” 联络 (或 “瞬子”) 组成的空间, 模去将每一根纤维都映射到自己的规范自同构群. 使用 Cliff Taubes 和其他人的事情, 他发现这个空间除去 n 个奇异点外, 是一个五维平滑流形, 其中 n 知足 条件
的点对
的个数. 这个五维流形可通过在无限 远处添加一个 M 的回复来紧化. 此外, 每个奇异可以被形貌 为一个复射影平面
上的锥, 适当取定向. 这发生 M 和
的 n 个复本无交并之间的一个配边. 这样一个配边的存在意味着 M 的符号差恰恰 是 n, 由此很容易得出相交形式可对角化.
A4.6. Taubes. 见 Taubes [1987] 以 及 Freedman [1984], Gompf [1983, 1993], De Michelis 和 Freedman[1992].
我不妄想 形貌 颇为手艺 性的 Taubes 结构, 但我会简陋地形貌 下
上怪微分结构的一个例子.
引理 2. 存在一个平滑四维闭流形 M , 及一个拓扑上的连通和剖析
, 使得两个拓扑流形
中至少有一个没有任何平滑结构.
证实 . 设
是 Kummer 曲面
. K 的相交形式已知是偶型的, 秩是 22, 符号差是 −16. 以 −K 记相同的流形,但取相反的定向. 从 Freedman 的定理很容易得出 −K 保向同胚于五重拓扑连通和 X#X#Y#Y#Y , 其中X是Freedman的E8 流形, 它没有微分结构而
. 于是结论建设.
推论3. 两次穿孔的四维球面上存在一个可微结构, 具有以下性子 :没有平滑嵌入的三维球面可以脱离 这两个孔.
证实 . 由引理 1, 存在
在 M 中的一个拓扑嵌入, 它疏散M 的两个因子M1 和 M2. 现在给
的这一拓扑嵌入复本赋予继续于 M 的微分结构. 若是 有一个平滑嵌入的
在 M 的这个子集中而且疏散两个拓扑界线 , 那么我们可以沿这个球面切开M , 然后补上两个四维球体, 所得两个新的平滑流形划分同胚于M1 和 M2. 但由假设, 这是不行能的. 由于
是微分同胚于两次穿孔的四维球面, 这就完成了证实 .
下一步要难题 堪 多. 以
记 X#X 与
的 n 个复本的连通和. 取 n₀ 是使有
微分结构的最小值. (因此, 由 Donaldson 定理知: 1≤n₀≤3.)
引理 3 (Freedman). 存在一个紧致子集
有如下性子 :
• 补集
同胚于
,
• Q 在
中的某一邻域 V 能平滑地嵌入
中做为其子集, 其中
.我禁绝备形貌 证实 : 像 Freedman 的主要定理的证实 一样, 它涉及高度非平滑结构.
假设有引理 2, 开集 U 做为子集的继续
的微分结构, 它就是想要的怪 R4. 事实上, 若是 U 微分同胚于通俗
, 那么它将是一个递增序列
的并集, 其中每个 Bj 都是四维单元闭球的平滑嵌入复本. 对于很大的j, 界线 ∂Bj 将包罗在 V 内, 因此会映射到
中的一个平滑嵌入的球面. 该球面将疏散
, 使
成为不行能的平滑连通和.
有许多关于四维流形微分结构和微分同胚稳固 量的文献, 例见Friedman 和 Morgan [1989], Salamon [1999] 以及 Morgan [2003].
A4.7. 接下来会是什么? 在 20 世纪 60 年月 , 人们惊讶 地发现, 维数 4 和 3 是最难题 的情形, 再高的维数却更容易. 关于这种征象 一些诠释 , Freedman [1984]. 高维流形的一个简要综述在 Milnor [2011] 中给出, 特殊 是文中的表 2 和 3 形貌 了
的准确 结构, 其中 1≤ n≤63 而且 n≠4.