最近我开启了“量子力学之路”系列，旨在从数理角度从零诠释 量子力学。正如我在系列的第一篇文章量子力学之路——坚实的数理基础至关主要 ，没有捷径可走中提到的那样，学习量子力学有一些先决条件，而一些先决条件并不简朴，这样 多数学主题，这些主题我在“量子力学之路”系列中一样平常 都市讲到，但不会深入。因此我决议 同步开启“微分方程”系列，这是本系列的第一篇文章。
复数复数就是形如x+iy的数字，其中x和y是实数，i^2=-1。实数x和y划分称为z的实部和虚部，体现为：
若是 z=x+iy，则z̅=x-iy称为z的复共轭。很容易得出：
定理（1）
对于复数z和w，有以下7个性子 ：
笛卡尔和指数形式
复数可以绘制在一个矩形网格上，类似于实数对（x，y）被绘制在一个直角坐标系统上。你可以简朴地用一对实数(x,y)来确定复数z=x+iy，并绘制（x，y）。y轴称为虚轴，x轴称为实轴。
也可以用极坐标（θ， r）来体现：
定理（2）（很主要 ）
对于复数z=x+iy，
多项式方程的根设p_n(x)和q_n(x)为n次多项式，可以假设p_n(x)的形式为：
系数a_i可能不是实数，但在本系列文章中它们总是实数。在任何情形 下，代数基本定理批注 ，方程p_n(x)=0有n个解。
假设x=r是p_n(x)的根。那么：
若是 p_n(x)除以x-r，就获得恒等式：
其中R为常数，q_(n-1)(x)为n-1次多项式。因此，
但上面的式子是关于x的恒等式，通过令x=r，我们可以获得r =0当且仅当p_n(r)=0，也就是说，当且仅当r是p_n(x)的根。
定理（3）
对于每一个多项式
存在n个复数r_1， r_2，…，r_n，称为多项式的根，使得
P_n (r_i)=0，对于所有i=1，2，…，np_n(x)=(x-r_1)(x-r_2)…(x-r_n)而且，对于一些i，若是 p_n(r)=0，则r=r_i。
定理（4）
假设r=a+ib, b≠0，是下面多项式的根
那r的共轭（ r̅=a-ib）也是多项式的一个根。
矩阵体现矩阵是一组数字的矩形数组。一样平常 来说，矩阵用黑体字大写字母体现。我们用A来体现p×q矩阵，它的元素是a_ij。也就是
只有一列的矩阵称为向量。我们用黑体小写字母来体现向量，这与我们对矩阵的约定一致。A的列向量就是
对于联立方程组
系数矩阵为
右边常数用向量b体现：
增广矩阵B由A和b体现：
未知量用向量x体现：
行数和列数相同的矩阵称为方阵。方阵的非对角元素是a_ij，其中i≠j。非对角元素都为零的方阵称为对角阵。
I_n矩阵（其中n是正整数），是所有对角元素都是1的对角矩阵。这些矩阵称为单元矩阵。以是 ：
是单元矩阵。I_n的列被赋予特殊的符号e_1，e_2，…，e_n；也就是：
当上下文明确了I_n的巨细时，就可以去掉下标n。那些位于对角线以下的非对角线项为零的方阵称为上三角矩阵（上三角矩阵同理可得）。
我们界说0矩阵O_n为nXn矩阵，它所有的元素都是0。以是 O_n也是对角线。
方程组的解我们可以用消元法来解方程组。注重 消去历程很洪流平上依赖于每个方程中未知变量的系数。
把方程组的系数和方程组右边的常数放在一起获得一个增广矩阵。化简这个增广矩阵可以获得方程组的解。注重 ，当系数矩阵简化为单元矩阵时，右边的系数列就是解向量。
从矩阵A到矩阵B的算术步骤叫做初等行运算。这些运算分为三种类型：
交流恣意 两行。将一行乘以一个非零标量。将一行的α倍添加到另一行的β倍。这里的要害点是初等行运算用另一个方程组替换了一个方程组，后者的解集与前者的解集相同。这种解法称为高斯消去法。
矩阵代数设m×n矩阵A和B为：
对于所有的i和j，若是 a_ij=b_ij，则A=B。因此，两个矩阵相等，意味着矩阵响应 项相等。
我们现在界说矩阵A+B和矩阵与恣意 标量k的乘法：
由上面的界说可以获得下列代数规则：
A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+CA+O=AA+(-1)A=O0A=Ok(hA)=(kh)Ak(A+B)=kA+kB(k+h)A=kA+hA用第一列替换第一行，用第二列替换第二行，以此类推，直到所有的列都酿成行。由这个交流获得的矩阵称为原矩阵的转置，[a_ij]^T=[a_ji]。我们用A^T来体现A的转置。
一个向量的转置是一个只有一行的矩阵，有时称为行向量。为了阻止 混淆，我们用逗号脱离 行向量的各个元素。
请注重 ，转置和加法的界说引出了这样的结论：C=A+B意味着C^T=A^T+B^T。
若是 矩阵A即是它自己的转置，即A^T=A，那么它就是对称的；若是 A^T=-A，那么它是阻挡称的。对称矩阵和阻挡称矩阵必须是方阵。
矩阵乘法若是 A是m×q矩阵，元素为a_ij ；B是q×n矩阵，元素为b_ij，那么乘积C=AB是m×n矩阵，c_ij为：
为了使上面的界说有意义，A的每一行必须有和B的每一列有一样多的元素。这意味着A的列数必须与B的行数相同。
因此，若是 A是2×3矩阵, B是3×3矩阵，那么AB是有界说的，而BA没有界说。因此矩阵乘法是不知足 交流律的。
以下事实适用于所有巨细兼容的A、B和C：
A(BC)=(AB)CA(A+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA能说明矩阵乘法的特征 的一个例子：
这批注 纵然A和B都不为0，AB也可以是0。
两个矩阵乘积的转置，是它们转置的逆序乘积：
这个效果 扩展到三个或更多个矩阵的乘积。
矩阵乘法提供了一种将方程组写成紧凑形式的要领。
上面可以写成Ax=b。我们将重复使用这个表达。在不明确A的巨细的情形 下，我们假设A是m×n，因此x是一个有n个元素的向量，b是一个有m个元素的向量，只管 在大多数应用中m=n。
矩阵的逆为了到达类似的目的，我们引入了矩阵逆的符号。若是 存在一个方阵B，使AB=I=BA，那么方阵A就是非奇异的，或者说有一个逆，或者说是可逆的。很显着 ，不是所有的矩阵都有逆矩阵。
由于A的逆矩阵只有一个，以是 若是 AB=I=BA建设，我们称B为A的逆矩阵，并将B写成A^(-1)。用这种体现法，AB=I=BA可以写成AA^(-1)=(A^(-1))(A)=I。
一个不行逆的方阵就是一个A^(-1)不存在的方阵。这样的矩阵称为奇异或不行逆矩阵。
若是 A是2x2矩阵
且ad-bc≠0，那么
定理（5）
假设A和B都是可逆的。那么
(A^(-1))^(-1)=A(AB)^(-1)=(B^(-1))(A^(-1))(A^T)^(-1)=(A^(-1))^T定理（6）
假设A是可逆的。那么Ax=b有且只有一个解，x=A^(-1)b。
结论（1）
当且仅当A是奇异阵时，方程组Ax=0有解x≠0。当且仅当A是可逆的，这个方程组只有解x=0。
行列式界说与基本定理
A的行列式是一个只在方阵中界说的标量，记作det(A)。它有n的阶乘项，每一项是A的元素的正负乘积：
其中第二个下标，由∗体现，是数字{1，2，…，n}之一，其中没有一个被使用两次。指数k是第二个下标的逆序数。因此，
由于数字{1，2，…，n}的每个排列都有一项，以是 上面的和包罗n的阶乘项。由于这个缘故原由 ，现实 上并不使用上面的求和来盘算。若是 n=2，界说是容易使用的，
有两种常用的det(A)的求值要领。在本节中，我们将探讨最高效的要领。该要领依赖于两个基本定理：
定理（7）
若是 A是上或下三角矩阵，对角元素为a_11，a_22，…，a_nn，那么det(A)=(a_11)(a_22)…(a_nn)。
定理（8）
设A是一个方阵。
若是 A的两行元素交流形成B，那么，det(A)=-det(B)若是 A的一行乘以k获得B，那么kdet(A)=det(B)若是 A的一行的倍数加到A的另一行形成B, 那么det(A)=det(B)这两个定理为盘算行列式提供了一种有用 的要领。注重 ，定理8形貌 了初等行运算对det(A)的影响。
我们可以快速准确地盘算初等行变换的效果 。以是 对于含有已知常数项的矩阵，行化成三角矩阵是盘算行列式的首选要领。对于有参数项的矩阵，通常使用其他要领。
由于矩阵乘法和行列式的界说重大 ，乘积的行列式和行列式的乘积之间存在着一种简朴的关系：
定理（9）
若是 A和B是方阵，det(AB)=det(A)det(B)
若是 det(A)=0，那么A一定是奇异的。反之亦然。
定理（10）
det(A)=0是A是奇异的一个充要条件。
定理（11）
对于每个方阵A，det(A)=det(A^T)
余子式与代数余子式a_ij的余子式是，去掉A的第i行和第j列形成的矩阵的行列式。
a_ij的代数余子式写成A_ij，即是余子式乘以 (-1)^(i+j)。代数余子式的主要 性是由于以下的主要 定理：
定理（12）
对于每个i和j，
线性自力 （线性无关）方程组Ax=0可以有无限 多个解。为了形貌 这种系统的所有解的荟萃，我们必须首先明确 线性无关的看法。
假设已知k个向量a_1， a_2，…，a_k和k个标量c_1 ，c_2…，c_k。思量 到表达式
不是所有 为零若是 上面的方程对某些标量建设（不是所有 为零），那么向量a_1，a_2，…，a_k就是线性相关的，标量c_1，c_2，…，c_k就叫作权值。由上式可知
其中 c_1≠0。上面的方程批注 a_1是其他向量的“加权和”。
若是 一个给定的向量组不是线性相关的，那么它称为线性无关的。由于线性无关的荟萃不行能存在依赖关系，
意味着所有的标量系数必须是零。
一样平常 来说，我们不能容易 判断 一个向量组是否是线性无关的，也不能容易 求出权值（若是 向量组是线性相关的）。
但我们可以把上式重写为矩阵向量的形式，为此，界说一个矩阵A，它的列是向量a_1，a_2，…，a_k，它的项的权值是c_1，c_2，…，a_k。因此：
凭证 矩阵乘法的界说：
因此，当且仅当 Ac=0存在非零解时，矩阵A的列向量才是线性无关的。那么，c的元素就是权值。
若是 矩阵A是方阵，那么基于线性相关的行列式的判据是可能和利便 的。基本的头脑 是：若是 A是可逆的，那么推论1，系统Ac+0只有通俗 解，由于
证实 晰 c一定是0。下面的定理将det(A)与A的行和列的线性无关联系起来。
定理（13）
当且仅当det(A)≠0时，n×n矩阵A的行(列)是线性无关的。