在上一篇文章 《复平面变换下的复变函数》中，我们可视化指数函数、三角函数。本文将先容 莫比乌斯变换的巧妙 性子 ，而且建设其与正切函数的联系。
Part1莫比乌斯变换的体现1矩阵体现所谓莫比乌斯变换，也称为分式变换，其形如：巧妙 的是，全体莫比乌斯变换组成群。也就是说莫比乌斯变换的复合仍然是莫比乌斯变换，而且有恒等映射作为单元元，逆变换同样是莫比乌斯变换。而且更神奇的是，变换的复合与矩阵乘法逐一 对应：这个读者可以简朴的盘算获得验证。另外若是 复数接纳齐次坐标的写法：，则莫比乌斯变换与矩阵变换无异：于是我们将莫比乌斯变换对应的矩阵记为.2不动点与特征向量我们发现的不动点和的特征向量存在对应的关系。所谓不动点，即知足 方程的点；特征向量是指知足 ，称之为特征值。我们约定既可以是齐次坐标，又可以视为向量，这取决于是照旧作用于，信托 这不至于引起杂乱。是的特征向量，即，则是的不动点，即：下文将会有主要 的应用。Part2莫比乌斯变换的剖析3什么是反演？分式变换就是复数四则运算的简朴复合。加减乘三种运算我们都讨论过了，唯有除法需要特殊 先容 。我们只需要关注倒数函数即可。使用 欧拉公式视察：从几何的角度讲——倒数函数是关于复平面上单元圆的复反演。
何谓“复反演”？请看下图：是圆心位于原点的单元圆中的恣意 一点，接下来我们找点关于单元圆的反演点。我们称单元圆是反演圆，圆心称为反演中央 。毗连 并延伸 ，做过点关于射线的垂线交圆于点；做过点的切线交于点，则为的反演。再对点取共轭，则获得点的复反演.在中，由射影定理：以是 复数和的模长知足 导数关系，注重 式，辐角取相反数，以是 最后还需要取共轭，于是获得复反演点.从几何角度看，（复）反演关系是相互的，当点位于单元圆外，则通过逆向操作获得其反演点位于圆内。当点位于单元圆上，则复反演点恰恰 是共轭点。4反演的几何性子 事实上，复反演只不外是反演和翻折变换的复合。反演知足 以下几何性子 ：（保圆性）反演将圆映射为圆。
更确切地讲，反演将反演圆内的小圆映射为圆外的大圆，或者反过来。若圆与反演圆相交，则其反演的像也与反演圆相交于相同的点。特殊 地，若圆通过反演中央 ，则其像为直线。我们把直线视为半径无限 大的圆。证实 并不难题 ，但在此省略。
如图，红色且粗线条的圆是反演圆，其余相同颜色的圆互为反演关系。复反演则取实轴的镜像即可。Part3莫比乌斯变换的性子 保圆性莫比乌斯变换可以剖析为旋转、平移、反演的复合：而这三种变换都具有保圆性，以是 莫比乌斯变换也具有保圆性。不动点莫比乌斯变换的不动点对于其化简、分类有着主要 的意义。 从矩阵理论的角度看，不动点事实上是莫比乌斯变换的特征向量，利便 变换矩阵对角化。经由 简朴的盘算，获得二次方程首先扫除 系数皆为的情形 ，这与的条件相违。其次分母为常数的情形 也都是通俗 的情形 。我们直接思量 的情形 ，此时由二次方程有两个解，我们划分记为（可能重根）。其时，界说变换，以及. 可以连忙 验证的不动点是和.其时，界说变换，以及. 可以连忙 验证的唯一不动点是.经由 修剪的莫比乌斯变换越发简明，以上两种情形 划分具有如下形式：显然前者是由乘子所决议 的旋转和伸缩的复合，尔后者是由决议 的平移。我们将复平面上的变换通过球极投影展现在黎曼球面上，北极点对应的是复平面的无限 远点。此图反映了旋转+伸缩的情形 。
Part4莫比乌斯变换与正切函数的关系终于我们的主角登场了。由欧拉公式，我们可以获得正弦和余弦的表达式：两者之比正是正切函数：我们可以将正切函数视为一系列的复合：前面的指数映射我们已经先容 过了，注重 到倒数第二步是一个莫比乌斯变换这个变换的不动点容易盘算为，这切合第7节有互异不动点的情形，于是结构映射，最终我们获得乘子也就是说是一个黎曼球面上的逆时针旋转90度的变换。从回到：是绕着和这两个不动点的旋转，则是绕着这两个不动点的旋转，如下动图充实反映出这一点。参考文献[1] Thristan Needham. 复剖析 :可视化要领[M]. 人民邮电出书社, 2009.
[2] 沙巴特. 复剖析 导论: 第4版. 第1卷, 单复变函数[M]. 高等教育出书社, 2010.
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